Matematyka.pl

Witajcie,
Chciałam prosić o pomoc z następującym zadaniem:

1. Wykaż że jeśli liczba naturalna jest podzielna przez \(\displaystyle{ 4}\) to:
\(\displaystyle{ a)\ 10 \mbox{ dzieli } 2^{2n}+2^3 \cdot 2^n +2^4 \\
b)\ 100 \mbox{ dzieli } 4^n +2^{n+3} + 4^2 \\
c)\ 100 \mbox{ dzieli } 9^n + 2 \cdot 3^{n+2} + 81}\)

Podstawiając \(\displaystyle{ n=4k}\), doszłam w a i b do momentu \(\displaystyle{ (16^k + 4)^2}\) , a w podpunkcie c \(\displaystyle{ (81^k+9)^2}\)
i gdzieś znalazłam podobne dowody ale z indukcją a muszę to zrobić bez.

To jest zadanie z pierwszej klasy liceum.

Z góry dziękuję

To skoro już otrzymałaś takie postaci, to wystarczy popatrzeć uważnie.
Zarówno liczba \(\displaystyle{ (16^k+4)^2}\), jak i \(\displaystyle{ (81^k+9)^2}\) są podzielne przez cztery:
pierwsza jako kwadrat sumy dwóch liczb parzystych (czyli kwadrat liczby parzystej), a druga jako kwadrat sumy dwóch liczb nieparzystych (czyli znów kwadrat liczby parzystej).
Ponadto liczba \(\displaystyle{ 16}\) daje resztę \(\displaystyle{ 1}\) z dzielenia przez \(\displaystyle{ 5}\), więc też i \(\displaystyle{ 16^k}\) daje resztę \(\displaystyle{ 1}\) z dzielenia przez \(\displaystyle{ 5}\) dla \(\displaystyle{ k \in \NN^+}\): można to uzasadnić ze wzoru dwumianowego Newtona, rozpisując \(\displaystyle{ 16^k=(15+1)^k}\) i zauważając, że wszystkie składniki rozwinięcia oprócz ostatniego będą podzielne przez \(\displaystyle{ 5}\)
Zatem \(\displaystyle{ 16^k+4}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 5}\), bo możemy zapisać \(\displaystyle{ 16^k=5m+1}\) dla pewnego \(\displaystyle{ m \in \NN}\) (w zależności od \(\displaystyle{ k}\)), a wówczas \(\displaystyle{ 16^k+4=5m+5=5(m+1)}\)
A zatem \(\displaystyle{ 5}\) dzieli \(\displaystyle{ 16^k+4}\), czyli \(\displaystyle{ 25=5^2}\) dzieli liczbę \(\displaystyle{ (16^k+4)^2}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ 4\cdot 25=100}\) i \(\displaystyle{ \NWD(4,25)=1}\), więc z podzielności przez \(\displaystyle{ 4}\) i \(\displaystyle{ 25}\) wynika podzielność przez \(\displaystyle{ 100}\), a więc i przez \(\displaystyle{ 10.}\)
Czyli dla dowolnego \(\displaystyle{ n \in \NN^+}\) liczba \(\displaystyle{ (16^k+4)^2}\), gdzie \(\displaystyle{ 4k=n}\), dzieli się przez \(\displaystyle{ 100}\) oraz, co z tego wynika, przez \(\displaystyle{ 10}\).
Analogicznie \(\displaystyle{ 81}\) daje resztę \(\displaystyle{ 1}\) z dzielenia przez \(\displaystyle{ 5}\), więc też \(\displaystyle{ 81^k}\) daje resztę \(\displaystyle{ 1}\) z dzielenia przez \(\displaystyle{ 5}\), zatem dla każdego \(\displaystyle{ k \in \NN^+}\) istnieje takie \(\displaystyle{ l \in \NN^+}\), że \(\displaystyle{ 81^k=5l+1}\)
a wówczas \(\displaystyle{ 81^k+9=5l+10=5(l+2)}\) co jest w oczywisty sposób podzielne przez \(\displaystyle{ 5}\)
Zatem kwadrat tej liczby dzieli się przez \(\displaystyle{ 5^2=25}\)
I znów podzielność przez \(\displaystyle{ 4}\) w połączeniu z podzielnością przez\(\displaystyle{ 25}\) daje nam podzielność przez \(\displaystyle{ 100}\).

Jednak najwygodniej i najszybciej robi się to zadanie z kongruencji, tylko nie wiem, czy są wprowadzane w liceum (u mnie nie było, w niektórych szkołach za to owszem) - w programie niby ich nie ma.

Nie, kongruencji nie było.

Dziękuję za pomoc.
Widziałam tą podzielność ale nie umiałam tego uzasadnić tak dokładnie.