Hej,
Mam problem z pewnym zadaniem, mianowicie:
Udowodnij, że \(\displaystyle{ n^{2} - 2}\) jest niepodzielne przez 3 dla wszytskich \(\displaystyle{ n \ge 3 \wedge n \in \mathbb{N}}\)
Pachnie dowodem nie wprost, wtedy założenie:
\(\displaystyle{ n^{2} - 2 = 3k}\) sprowadza się do pokazania, że
\(\displaystyle{ \sqrt{3k+2}}\) nie jest liczbą naturalną, tak? W tym miejscy utknąłem. Próbowałem już rozbijania tego na wzór skróconego mnożenia, zapisywania n w postaci liczby parzystej i nieparzystej i nie mogę dojść do niczego konstruktywnego... Ktoś, coś? Byłbym bardzo wdzięczny,
Pozdrawiam.
Udowodnij niepodzielność przez 3
-
Snick1
- Użytkownik
- Posty: 2
- Rejestracja: 23 maja 2016, o 10:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 1 raz
Udowodnij niepodzielność przez 3
Ok, czyli tak:
\(\displaystyle{ n = 3k
\\
n^{2} - 2 \leftrightarrow {3k}^{2} - 2 \leftrightarrow 3(3{k}^{2}) - 2 = p. \ wtedy \ p \mod 3 = 1}\)
\(\displaystyle{ n = 3k + 1
\\
n^{2} - 2 \Leftrightarrow {3k + 1}^{2} - 2 \Leftrightarrow 3(3{k}^{2} + 2k) - 1 = p. \ wtedy \ p\mod3 = 2}\)
\(\displaystyle{ n = 3k + 2
\\
n^{2} - 2 \Leftrightarrow {3k + 2}^{2} - 2 \Leftrightarrow 3(3{k}^{2} + 2k) + 2 = p. \ wtedy \ p\mod3 = 2}\)
czyli dla każdej liczby naturalnej n dzielenie wyrażenia \(\displaystyle{ n^{2} - 2}\) przez 3 nie daje całkowitego wyniku, wniosek: żadna liczba naturalna postaci \(\displaystyle{ n^{2} - 2}\) nie jest podzielna przez 3.
Ok, chyba działa, wielkie dzięki.
\(\displaystyle{ n = 3k
\\
n^{2} - 2 \leftrightarrow {3k}^{2} - 2 \leftrightarrow 3(3{k}^{2}) - 2 = p. \ wtedy \ p \mod 3 = 1}\)
\(\displaystyle{ n = 3k + 1
\\
n^{2} - 2 \Leftrightarrow {3k + 1}^{2} - 2 \Leftrightarrow 3(3{k}^{2} + 2k) - 1 = p. \ wtedy \ p\mod3 = 2}\)
\(\displaystyle{ n = 3k + 2
\\
n^{2} - 2 \Leftrightarrow {3k + 2}^{2} - 2 \Leftrightarrow 3(3{k}^{2} + 2k) + 2 = p. \ wtedy \ p\mod3 = 2}\)
czyli dla każdej liczby naturalnej n dzielenie wyrażenia \(\displaystyle{ n^{2} - 2}\) przez 3 nie daje całkowitego wyniku, wniosek: żadna liczba naturalna postaci \(\displaystyle{ n^{2} - 2}\) nie jest podzielna przez 3.
Ok, chyba działa, wielkie dzięki.
-
Milczek
- Użytkownik
- Posty: 821
- Rejestracja: 22 lut 2013, o 19:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 84 razy
- Pomógł: 45 razy
Udowodnij niepodzielność przez 3
Wybacz, nie sprawdzę bo gubię się w twoim zapisie . Pokaże jak ja bym to zrobił,
Rozpatrujemy reszty z dzielenia przez \(\displaystyle{ 3}\) więc \(\displaystyle{ n}\) ma postać jedną z tych postaci \(\displaystyle{ n=3k \\ n=3k+1 \\n=3k+2}\). Więc ich kwadraty to \(\displaystyle{ n^{2}=9k^2 \\ n^2=3(3k^2+2k)+1 \\ n^2=3(3k^2+4k+1)+1}\) .
Odejmujemy wszędzie \(\displaystyle{ 2}\) i mamy liczby
\(\displaystyle{ n^2-2=9k^2-2 \\
n^2-2=3(3k^2+2k)-1 \\
n^2-2=3(3k^2+4k+1)-1}\), czyli już widać że żadna z tych liczb nie dzieli się przez trzy dla \(\displaystyle{ n,k \in C}\)-- 23 maja 2016, o 14:23 --Co do twojego, trochę zagmatwane ale widać że wiesz o co chodzi.
Rozpatrujemy reszty z dzielenia przez \(\displaystyle{ 3}\) więc \(\displaystyle{ n}\) ma postać jedną z tych postaci \(\displaystyle{ n=3k \\ n=3k+1 \\n=3k+2}\). Więc ich kwadraty to \(\displaystyle{ n^{2}=9k^2 \\ n^2=3(3k^2+2k)+1 \\ n^2=3(3k^2+4k+1)+1}\) .
Odejmujemy wszędzie \(\displaystyle{ 2}\) i mamy liczby
\(\displaystyle{ n^2-2=9k^2-2 \\
n^2-2=3(3k^2+2k)-1 \\
n^2-2=3(3k^2+4k+1)-1}\), czyli już widać że żadna z tych liczb nie dzieli się przez trzy dla \(\displaystyle{ n,k \in C}\)-- 23 maja 2016, o 14:23 --Co do twojego, trochę zagmatwane ale widać że wiesz o co chodzi.