Udowodnij metodą indukcji matematycznej zupełnej podzielność

Kuber19 · Post autor: **Kuber19** » 12 paź 2016, o 20:32

Witam, potrzebuje pomocy w rozwiązaniu zadania za pomocą indukcji matematycznej zupełnej.
Dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) udowodnić \(\displaystyle{ 21|2 ^{4 ^{n} } +5}\).

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 12 paź 2016, o 20:37

Spróbuj wykazać, że \(\displaystyle{ 2^{4^n}\mod 21=16}\). To fakt równoważny, a dość łatwy w dowodzie.

Kuber19 · Post autor: **Kuber19** » 12 paź 2016, o 21:08

Tak, ale chodzi mi o to, jak to zapisać, by koniecznie, było dowodzone przez indukcje.

Post autor: **Jan Kraszewski** » 12 paź 2016, o 21:12

Jakiej zatem potrzebujesz pomocy - w którym miejscu Twój dowód zacina się?

JK

Kuber19 · Post autor: **Kuber19** » 12 paź 2016, o 21:20

Po spełnieniu pierwszego warunku dla \(\displaystyle{ n=1}\) oraz zapisaniu założenia Z: \(\displaystyle{ 2 ^{4 ^{n} }+5=21p}\) nie wiem co dalej zrobić z tezą T: \(\displaystyle{ 2 ^{4 ^{n+1} }+5=21P}\)

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 12 paź 2016, o 21:26

Dlatego proponowałem postać równoważną: \(\displaystyle{ 2^{4^{n+1}}=21(P-1)+16}\). To znacznie łatwiej wykazać.

Kuber19 · Post autor: **Kuber19** » 12 paź 2016, o 21:28

No to będę jakoś kombinował. Dzięki

Post autor: **Jan Kraszewski** » 12 paź 2016, o 21:32

Biorąc

\(\displaystyle{ 2^{4^{n+1}}=2^{4^n\cdot 4}=\left( 2^{4^n}\right) ^4}\)

też wyjdzie...

JK

Kuber19 · Post autor: **Kuber19** » 12 paź 2016, o 22:16

Mógłbyś to ładne rozpisać? Wykładowca czepia się jeśli jest źle, ( nie po "matematycznemu") zapisane.

Post autor: **Jan Kraszewski** » 12 paź 2016, o 22:33

\(\displaystyle{ 2 ^{4 ^{n+1} }+5=\left( 2^{4^n}\right) ^4+5=(21p-5)^4+5=...}\)

JK