Matematyka.pl

Jak za pomoca kongruencji udowodnić poniżsża podzielność?

\(\displaystyle{ 10 | 53^{53}-33^{33}}\)

Wiem, że mogę zapisac takie równości: \(\displaystyle{ 53=3 \pmod{10}}\)
\(\displaystyle{ 3^{2}=-1 \pmod{10} \Rightarrow 3^{52}=1 \pmod{10}}\)

Czy wykorzystując właśność kongruencji mogę sobie te liczby, które dają te same reszty z dzielenia przez \(\displaystyle{ 10}\) po prostu zamienić?

Muszę udowodnić, że: \(\displaystyle{ 53^{53}-33^{33}=0 \pmod{10}}\)

Czy wykorzystując właśność kongruencji mogę sobie te liczby, które dają te same reszty z dizelenia przez 10 po prostu zamienić?

Tak.-- 9 paź 2015, o 10:40 --Aha, ja bym od razu zrobił tak: \(\displaystyle{ 53^{53}\equiv 3^{53}\pmod{10}}\) i \(\displaystyle{ 33^{33}\equiv 3^{33}\pmod{10}}\) oraz ponieważ \(\displaystyle{ 3^{2}\equiv -1\pmod{10}}\), to \(\displaystyle{ 3^{20}\equiv 1\pmod{10}}\). Dalej chyba widać.

\(\displaystyle{ 53^{53}-33^{33} \equiv 3^{53}-3^{33}=3^{33}(3^{20}-1)}\)

\(\displaystyle{ 3^{2} \equiv -1 \Rightarrow 3^{20} \equiv 1}\)

Ponadto: \(\displaystyle{ 3^{2} \equiv -1 \Rightarrow (3^{2})^{16} \equiv 1 \Rightarrow 3^{33} \equiv 3}\)

Więc:

\(\displaystyle{ 3^{33} (3^{20}-1) \equiv 3(1-1) \equiv 0}\)

Czyli 10 dzieli tę liczbę.

Dobrze?

Dobrze, aczkolwiek w pierwszej linijce masz czeski błąd (napisałaś równość zamiast przystawania modulo pod koniec tej linijki), a ponadto to, że \(\displaystyle{ 3^{33}\equiv3\pmod{10}}\), nic nie wnosi do rozwiązania.

No tak. Niepotrzebne jest rozpisywanie \(\displaystyle{ 3^{33}}\), ponieważ zero dzieli się przez każdą liczbę.