Matematyka.pl

Liczba \(\displaystyle{ m}\) podzielna przez \(\displaystyle{ 4}\) ma dokładnie \(\displaystyle{ 5}\) mniejszych od siebie dzielników, których suma równa się liczbie \(\displaystyle{ n}\) . Liczba \(\displaystyle{ n}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 20}\) i ma dokładnie \(\displaystyle{ 11}\) mniejszych od siebie dzielników, których suma równa się liczbie \(\displaystyle{ m}\) . Znajdź liczby \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\) . Zapisz odpowiednie obliczenia.

Robiłem to łopatologicznie i wyszło mi że \(\displaystyle{ m=284}\) i \(\displaystyle{ n=220}\) , ale jestem ciekawy jak zrobić to "ładnie".

Mamy: \(\displaystyle{ 4|m}\) , więc jedynymi dzielnikami są liczby: \(\displaystyle{ 1,2,4,?,?,m}\) . Wśród nich muszą być: \(\displaystyle{ \frac{1}{2}m, \frac{1}{4}m}\) , a skoro wszystkie są parami różne, to dzielnikami \(\displaystyle{ m}\) są: \(\displaystyle{ 1,2,4,\frac{1}{4}m,\frac{1}{2}m,m}\) .
Analogicznie dzielnikami \(\displaystyle{ n}\) są: \(\displaystyle{ 1,2,4,5,10,20, \frac{1}{20}n, \frac{1}{10}n, \frac{1}{5}n, \frac{1}{4}n, \frac{1}{2}n, n}\) .
Zatem uzyskujemy układ:

\(\displaystyle{ \begin{cases} 1+2+4+\frac{1}{4}m+\frac{1}{2}m=n \\ 1+2+4+5+10+20+ \frac{1}{20}n+ \frac{1}{10}n+ \frac{1}{5}n+ \frac{1}{4}n+ \frac{1}{2}n=m \end{cases}}\)
czyli:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 7+ \frac{3}{4}m=n \\ 42+ \frac{11}{10}n=m \end{cases}}\)
czyli:
\(\displaystyle{ 42+ \frac{11}{10}(7+\frac{3}{4}m)=m}\)
\(\displaystyle{ 42+ \frac{77}{10} + \frac{33}{40}m=m}\)
\(\displaystyle{ \frac{7}{40}m= \frac{497}{10}\ \bigg| \cdot 40 \\
7m=1972 \\
m=284}\)
Reszta twoja...

Dzięki. Musiałem zrobić jakiś błąd w rozwiązywaniu układu.