Matematyka.pl

Sprawdzanie podzielności przez małe liczby to jedna z podstawowych taktyk w takich zadaniach. Ogólniej dla wszystkich \(\displaystyle{ m,n}\) całkowitych dodatnich liczba
\(\displaystyle{ 2^{2m+1}+5^{2n}}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 3}\). Myślę, że organizatorzy oczekiwali czegoś w rodzaju Twojego drugiego sposobu (dwumian Newtona nie każdy zna na tym poziomie edukacji).

Premislav, skąd wiedziałeś że \(\displaystyle{ 2^{2m+1}+5^{2n}}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 3}\)?
Jak byś ten dwumian stosował.Pytam bo ja jestem słaby,a zadanie ciekawe.

\(\displaystyle{ 2^{2m+1}=(3-1)^{2m+1}\equiv (-1)^{2m+1}\pmod{3}\\5^{2n}=(6-1)^{2n}\equiv (-1)^{2n}\pmod{3}}\)
Oczywiście \(\displaystyle{ (-1)^{2m+1}=-1}\) dla każdego \(\displaystyle{ m}\) całkowitego, podobnie \(\displaystyle{ (-1)^{2n}=1}\) dla każdego \(\displaystyle{ n}\) całkowitego.
Zatem \(\displaystyle{ 2^{2m+1}+5^{2n}\equiv ((-1)^{2m+1}+(-1)^{2n}) \pmod{3}}\), czyli
\(\displaystyle{ 2^{2m+1}+5^{2n}\equiv 0\pmod{3}}\).
A to jest tak, że
\(\displaystyle{ (3-1)^{2m+1}=\\={2m+1\choose 0}3^{2m+1}(-1)^0+{2m+1\choose 1}3^{2m}(-1)^1+\ldots+{2m+1\choose 2m}3\cdot (-1)^{2m}+(-1)^{2m+1}}\)

Świetna sprawa,dzięki