Matematyka.pl

Udowodnij, że nie istnieją dodatnie liczby nieparzyste \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) spełniające równanie \(\displaystyle{ a^2-b^3=4}\).

Wiem, że temat już był, ale mam jakieś zaćmienie umysłu. Może ktoś podpowie coś więcej.
228338.htm

Równoważnie:
\(\displaystyle{ a^2-4=b^3, \text{ tj. } (a-2)(a+2)=b^3}\)
Zauważmy, że skoro \(\displaystyle{ a}\) jest nieparzyste, to liczby \(\displaystyle{ a-2}\) i \(\displaystyle{ a+2}\) są względnie pierwsze, tj. \(\displaystyle{ \NWD(a-2,a+2)=1}\).
Korzystając z tego, udowodnij, że zarówno \(\displaystyle{ a-2}\), jak i \(\displaystyle{ a+2}\) muszą być sześcianami liczb naturalnych. Ale sześciany liczb naturalnych nie mogą się różnić o \(\displaystyle{ 4}\)
(wystarczy pokazać, że ciąg \(\displaystyle{ a_n=(n+1)^3-n^3}\) jest rosnący i \(\displaystyle{ a_1>4}\)).

To zadanie pochodzi z I etapu VI OMG.
Dyskusja o zadaniach jest tutaj: https://www.matematyka.pl/206403,25.htm