Matematyka.pl

Witam. Robiłem sobie jakiś czas temu takie niewinne ćwiczenia z matematyki, dla wprawy -
doszedłem to takiego zadanka:
Pokazać, że dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) liczba \(\displaystyle{ 4^n+15n-1}\) jest podzielna przez 9. Zadanie jest w dziale o indukcji matematycznej.
No i klops - nie szło, złamałem się i sprawdziłem w odpowiedziach i zachodzi najgorszy możliwy scenariusz - nie rozumiem dopowiedzi .

Zachodzi tam takie przekształcenie: \(\displaystyle{ 4 \cdot 4^n + 15n + 15 -1 = (4 \cdot 4^n + 4 \cdot 15n - 4) + 18}\)
Za chiny nie widzę jak \(\displaystyle{ 15n}\) stało się \(\displaystyle{ 4 \cdot 15n}\). Oczywiście coś tam się pozmieniało w tych liczbach nie wymnożonych przez zmienną... ale ja głupi jestem . Mógłby to ktoś rozpisać jakoś albo nakierować mnie co tu się stało?

Po dodaniu \(\displaystyle{ 3\cdot 15n=45n}\) podzielność przez \(\displaystyle{ 9}\) nie zmienia się.

Ale znaku równości nie możesz tam postawić-- 22 sie 2016, o 17:00 --Całe rozwiązanie:

Sprawdzamy \(\displaystyle{ n=1}\), wychodzi \(\displaystyle{ 18}\), teza spełniona. Teraz chcemy dowieść, że \(\displaystyle{ 9\mid 4^n+15n-1}\) implikuje \(\displaystyle{ 9\mid 4^{n+1}+15(n+1)-1}\):

\(\displaystyle{ 4^{n+1}+15(n+1)-1=4\cdot 4^{n}+15n+14}\)

Dodajemy \(\displaystyle{ 3\cdot 15n}\)

\(\displaystyle{ 4\cdot 4^n+4\cdot 15n+14=4(4^n+15n-1)+18}\)

Ponieważ wyrażenie w nawiasie jest podzielne przez \(\displaystyle{ 9}\) z założenia indukcyjnego oraz \(\displaystyle{ 18}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 9}\), cała liczba jest podzielna przez \(\displaystyle{ 9}\).

Zatem teza jest prawdziwa przez indukcję, cnd.

O. Dzięki wielkie :>