Matematyka.pl

Witam. Zacząłem naukę w liceum w klasie humanistycznej. Matematyka jako przedmiot zawsze sprawiała mi jakiś problem, ostatnim moim tematem na lekcji była "podzielność liczb". Pani dała nam zadanie "Jaka jest struktura liczby podzielnej przez \(\displaystyle{ 3}\)?" Tutaj wszystko rozumiałem, rozpisała nam to tak, że wszystkie liczby podzielne przez \(\displaystyle{ 3}\) są w postaci \(\displaystyle{ 3k}\), potem te, które podczas dzielenia dają resztę \(\displaystyle{ 1}\) są w postaci \(\displaystyle{ 3k +1}\) oraz dalej \(\displaystyle{ 3k+2}\). Następnie dostaliśmy zadanie "Uzasadnij, że suma trzech kolejnych liczb jest podzielna liczba przez \(\displaystyle{ 3}\)" Tutaj też nic nie sprawiło mi problemu. Potem wyjaśniła nam, że każda kolejna \(\displaystyle{ 3}\) liczba jest podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\), tutaj rozpisała w ten sposób jak można przedstawiać te liczby.
\(\displaystyle{ 1.\ n=3k\\
2.\ n= 3k+1 \Rightarrow n+2=3k+3 \Rightarrow 3|m+2\\
3.\ n= 3k+2 \Rightarrow n+1=3k+3 \Rightarrow 3|m+1}\)
Tutaj zaczynają się schody, bo wiem nie rozumiem przekształcenia punktu 2 i 3 o co tutaj chodzi, przez co nie rozumiałem ani trochę kolejnych zadań.
Dostaliśmy takie zadanie "Udowodnij, że dla dowolnej liczby naturalnej taki iloczyn \(\displaystyle{ n(n+1) 2(n+1)}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ 6}\). Podała nam dwa sposoby rozwiązania tego, ale ja kompletnie nic nie zrozumiałem. Mógłby mi ktoś tutaj to rozpisać i wytłumaczyć co oznacza i dlaczego tak się robi? Później było tylko gorzej, następne zadanie typu "Udowodnij, że dowolne 2 liczby naturalne \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\): \(\displaystyle{ 3|a}\) lub \(\displaystyle{ 3|b}\) lub \(\displaystyle{ 3| a+b}\) lub \(\displaystyle{ 3| a-b}\)" oraz "Dane są takie 3 liczby całkowite, że różnica dowolnych dwóch z nich jest podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\)"
"Czy każda z tych liczb musi być podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\)?" "Czy suma tych liczb jest podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\)?". Bardzo proszę o pomoc, gdyż kompletnie nie daję sobie z tym rady. Dziękuję.

Nie wszystko na raz.

Liczba postaci \(\displaystyle{ 3k+1}\) to taka, która przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1.

Analogicznie \(\displaystyle{ 3k+2}\) ..................

O co zatem chodzi w tm (2) - raczej o to, że skoro mamy liczbę (n) postaci
\(\displaystyle{ 3k+1}\) , czyli (zapis z lekcji) \(\displaystyle{ n=3k+1}\) to jeśli do ostatniego równania (tak to równanie) dodamy do obu stron dwa, otrzymamy \(\displaystyle{ n+2=3k+1+2}\) i przekształcając prawą stronę jest \(\displaystyle{ n+2=3k+3}\) a dalej \(\displaystyle{ n+2=3(k+1)}\)

widzimy więc, że liczba \(\displaystyle{ n+2}\) dzieli się przez (3) co zapisujemy \(\displaystyle{ 3|n+2}\) (nie wiem skąd tam masz (m)).

Pytania ?

Dziękuję bardzo za wytłumaczenie, teraz wiem przynajmniej co to oznacza. Jeśli chodzi o m, to mój błąd powinno być tam n. Wczoraj sobie posiedziałem nad zadaniami i je przeanalizowałem, rozumiem o co w nich chodzi, aczkolwiek nadal pozostaje jedno, którego nie rozumiem. Jego polecenie jest następujące: "Udowodnij, że dla dowolnej liczby naturalnej taki iloczyn \(\displaystyle{ n\left(n+1 \right) \left( 2n+1\right)}\) jest podzielny przez 6". Mam tutaj podane dwa przykłady na zrobienie tego, ale kompletnie nie pojmuję na czym to polega. Prosiłbym więc o wytłumaczenie i jak to zrobić. Na końcu mam pytanie odnośnie tego, że dodajemy do obu stron 2, jest to uzasadnione działanie w celu udowodnienia czegoś, bo nie rozumiem? Dziękuję.

aleksander22 pisze:Jego polecenie jest następujące: "Udowodnij, że dla dowolnej liczby naturalnej taki iloczyn \(\displaystyle{ n\left(n+1 \right) \left( 2n+1\right)}\) jest podzielny przez 6".

Trzeba chwilę pokombinować. Musisz pokazać, że ta liczba jest podzielna przez \(\displaystyle{ 2}\) i przez \(\displaystyle{ 3}\). Przez \(\displaystyle{ 2}\) jest prosto: liczby \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ n+1}\) to kolejne liczby naturalne, więc jedna jest parzysta. Żeby pokazać podzielność przez \(\displaystyle{ 3}\) możesz np. rozważyć trzy przypadki, ze względu na to, jaką resztę z dzielenia przez \(\displaystyle{ 3}\) daje liczba \(\displaystyle{ n}\).

JK

Co do dodawania 2 - tak właśnie, zrobiono to aby pokazać dalszy ciąg, czyli podzielność przez 3 po tym dodaniu.

Co do \(\displaystyle{ n(n+1)(2n+1)}\), nie wiem jak miałeś w szkole, można na przykład tak (trochę długo, ale taki mam pomysł) :

Liczba (n) może być podzielna przez 3, czyli jest postaci \(\displaystyle{ 3k}\)* albo niepodzielna przez 3 , czyli jest postaci \(\displaystyle{ 3k+1}\)** lub \(\displaystyle{ 3k+2}\)***.

Przypadek * (wstawiamy zamiast (n) do postaci z zadania to (3k)) mamy \(\displaystyle{ 3k(3k+1)(6k+1)}\).
Teraz rozpatrujemy otrzymane dla :
1) \(\displaystyle{ k}\) nieparzystego - pierwszy czynnik dzieli się przez 3 a drugi jest parzysty (dzieli się przez dwa) - zatem ten iloczyn jest podzielny przez 6 (bo liczba dzieli się przez sześć gdy jednocześnie dzieli się przez 2 i 3).
2) \(\displaystyle{ k}\) parzystego - pierwszy czynnik jest podzielny przez 2 i 3 (jest co trzeba).

Przypadek ** - mamy \(\displaystyle{ (3k+1)(3k+2)(6k+3)}\), ostatni czynnik dzieli się przez 3, a pierwszy albo drugi jest parzysty (mamy).

Przypadek *** - mamy \(\displaystyle{ (3k+2)(3k+3)(6k+5)}\), drugi czynnik jest podzielny przez 3
1) dla \(\displaystyle{ k}\) parzystego pierwszy czynnik jest parzysty (mamy co trzeba)
2) dla \(\displaystyle{ k}\) nieparzystego drugi czynnik jest parzysty (mamy co trzeba)