Matematyka.pl

Witam. Jestem początkująca i mam pewne problemy z kilkoma zadaniami. Kompletnie nie wiem, jak się za nie zabrać. Byłabym wdzięczna za jakąkolwiek pomoc, chociażby wskazówki.

1. Wykaż, że liczba \(\displaystyle{ 3^{54} - 3^{27} * 2^{12} + 2^{24}}\) jest liczbą złożoną.

W tym przykładzie dochodzę do momentu wyliczenia końcówki danej liczby (13) i nie wiem, co dalej.

2. Liczby całkowite m, n, k spełniają równość \(\displaystyle{ k^{2} - m^{2} - n^{2} = 2(m-n)(k-m+n).}\) Wykazać, że \(\displaystyle{ 2m*n}\) jest kwadratem liczby całkowitej.

3. Wykaż, że liczba \(\displaystyle{ 1999 + 1998*1999*2000}\) jest sześcianem liczby całkowitej.

4. Oblicz wartość ułamka:

\(\displaystyle{ \frac{12*5^{2n+1} - 8*5^{2n} + 4*5^{2n-1}}{4*5^{2n-2}}}\)

gdzie \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą naturalną.

5. Udowodnij, że jeżeli \(\displaystyle{ a+c = 2b}\) i \(\displaystyle{ a^{2} + c^{2} = 2b^{2}}\), to a=b=c.

6. Udowodnij, że jeżli liczby a i b są naturalne oraz liczba \(\displaystyle{ a^{2} + ab + b^{2}}\) jest podzielna przez a+b, to liczba \(\displaystyle{ a^{4} + b^{4}}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ (a+b)^{2}}\).


Z góry wielkie dzięki za jakąkolwiek pomoc.

ad. 3)
a=1999
Mamy: \(\displaystyle{ a + (a-1)a(a+1) = a + a(a^2-1)=a+a^3-a=a^3}\)
Czyli sześcian liczby 1999.

[ Dodano: 28 Grudzień 2006, 20:10 ]
ad. 4)
\(\displaystyle{ \frac{12*5*5^{2n}-8*5^{2n}+\frac{4}{5}*5^{2n}}{\frac{4}{25}*5^{2n}} = \frac{12*5-8+\frac{4}{5}}{\frac{4}{25}} = 330}\)

5)
\(\displaystyle{ 2b=a+c}\) czyli \(\displaystyle{ b=\frac{a+c}{2}}\) więc b jest srednią arytmetyczną a oraz c
dalej podstawiam to do drugiego równania:
\(\displaystyle{ a^{2}+c^{2}=2(\frac{a^{2}+2ac+b^{2}}{4})}\) czyli \(\displaystyle{ a^{2}+c^{2}=\frac{a^{2}+2ac+b^{2}}{2}}\) mnoże obie strony przez 2 i mam
\(\displaystyle{ 2a^{2}+2c^{2}=a^{2}+2ac+c^{2}}\) przenoszę wszystko na lewo
\(\displaystyle{ a^{2}-2ac+c^{2}=0}\) czyli \(\displaystyle{ (a-c)^{2}=0}\) zachodzi to jedynie wówczas gdy a=c skoro więc b jest średnią arytmetyczną a oraz c więc wynosi tyle samo.

2.
\(\displaystyle{ k^{2} - m^{2} - n^{2} = 2(m - n)(k -m + n)\\
k^{2} - m^{2} - n ^{2} = -2m^{2} - 2n^{2} - 2kn + 2km\\
k^{2} + m^{2} + n^{2} + 2kn - 2km - 2mn + 2mn = 0\\
(k - m + n)^{2} + 2mn = 0\\
(k - m + n)^{2} = -2mn}\)

Stąd liczba \(\displaystyle{ 2mn}\) jest kwadratem liczby całkowitej wedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ k - m + n = 0}\) (w przeciwnym wypadku liczba \(\displaystyle{ -2mn}\) jest kwadratem liczby całkowitej różnej od zera, więc liczba \(\displaystyle{ 2mn}\) jest ujemna)

6.
\(\displaystyle{ a^{2} + ab + b^{2} = (a + b)^{2} - ab}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ (a+b)^{2} - ab}\) ma być liczbą podzielną przez \(\displaystyle{ a + b}\), to liczba: \(\displaystyle{ ab}\) również musi być podzielna przez \(\displaystyle{ a+b}\).

Mamy:
\(\displaystyle{ a^{4}+ b^{4} = (a^{2} + b^{2})^{2} - 2a^{2}b^{2}}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ ab}\) dzieli się bez reszty przez \(\displaystyle{ a + b}\) to \(\displaystyle{ a^{2}b^{2} = (ab)^{2}}\) dzieli się bez reszty przez \(\displaystyle{ (a + b)^{2}}\). Teraz wystarczy analogicznie pokazać, że \(\displaystyle{ (a^{2} + b^{2})^{2}}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ (a + b)^{2}}\)
Otóż mamy:
\(\displaystyle{ (a^{2} + b^{2})^{2} = ((a + b)^{2} - 2ab)^{2}}\)
\(\displaystyle{ (a+b)^{2}}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ a + b}\) oraz \(\displaystyle{ ab}\) podzielne przez \(\displaystyle{ a + b}\), wobec tego \(\displaystyle{ (a + b)^{2} - 2ab}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ a + b}\), więc \(\displaystyle{ ((a + b)^{2} - 2ab)^{2}}\) dzieli się bez reszty przez \(\displaystyle{ (a + b)^{2}}\).
Z powyższego wynika, że \(\displaystyle{ a^{4} + b^{4}}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ (a + b)^{2}}\)
c.t.b.w.

Dzięki przeogromne za pomoc!

Jakby ktoś jeszcze potrafił dać chcoiażby wskazówkę do pierwszego tu byłoby super...

Wskazówka:

\(\displaystyle{ 3^{54}-3^{27}\cdot2^{12}+2^{24}=3^{54}-3^{27}\cdot2^{12}+2^{24}+
3\cdot3^{27}\cdot2^{12}-3\cdot3^{27}\cdot2^{12}}\)

I wzory skróconego mnożenia.

No ok, wzory zastosować mogę, tylko skąd się wzięła ta druga część równania?

Ta druga część równania jest to po prostu rozszerzenie pierwszej części tego równania poprzez dodanie i odjęcie tego samego składnika \(\displaystyle{ 3 3^{27}\cdot2^{12}}\)

To chyba logiczne, ale dlaczego taki a nie inny składnik?

A więc wygląda to tak


\(\displaystyle{ 3^{54} - 3^{27} * 2^{12} + 2^{24} + 3 * 3^{27} * 2^{12} - 3 * 3^{27} * 2^{12} = (3^{27} + 2^{12})^{2} - 2^{12} * 3^{27} + (3^{14} + 2^{6})(3^{14} - 2^{6})}\)

I co dalej?

Oka, dzięki wielkie

4.\(\displaystyle{ \frac{12*5^{2n+1} - 8*5^{2n} + 4*5^{2n-1}}{4*5^{2n-2}}=\frac{4 5^{2n}(3 5^1 -2 +5^{-1})}{4 5^{2n} 5^{-2}}=\frac{15-2+\frac{1}{5}}{\frac{1}{25}}=(\frac{65}{5}+\frac{1}{5}) 25=330}\)

Racja, już zauważyłam, gdzie był mój błąd. Zastosowałam nie ten wzór...

*Kasia, \(\displaystyle{ 3 3^{27} = 3^{28}}\)