Matematyka.pl

Cześć,
Potrzebuje pomocy z następującym zadaniem:

Niech \(\displaystyle{ n}\) \(\displaystyle{ \in}\) \(\displaystyle{ \NN_+}\) i \(\displaystyle{ 7}\) \(\displaystyle{ \nmid}\)\(\displaystyle{ n}\). Pokazać, że \(\displaystyle{ n^3+1}\) lub \(\displaystyle{ n^3-1}\) jest podzielne przez 7.

Cześć.
Zauważ, że skoro \(\displaystyle{ 7\nmid n}\), to \(\displaystyle{ 7}\) dzieli \(\displaystyle{ n^{6}-1}\) - z małego twierdzenia Fermata albo ze wzorów skróconego mnożenia. Z kolei ze wzoru na różnicę kwadratów masz
\(\displaystyle{ n^{6}-1=(n^{3}-1)(n^{3}+1)}\). Ponieważ \(\displaystyle{ 7}\) jest pierwsza, więc skoro dzieli \(\displaystyle{ n^{6}-1}\), to musi dzielić któryś z tych czynników.

A bardziej prymitywnie możesz rozważyć wszystkie możliwe reszty z dzielenia \(\displaystyle{ n}\) przez \(\displaystyle{ 7}\).