Matematyka.pl

1. Suma kwadratów 2 liczb wynosi 96, a ich największy wspólny dzielnik 12. Znajdż te liczby.
2. Wykaż że suma 3 kolejnych naturalnych potęg liczby 3 jest podzielna przez 13
3. Pewna liczba przy dzieleniu przez 5 daje resztę 4. KJaką resztę otrzymamy dzielac kwadrat tej liczby przez 5

2)
\(\displaystyle{ 3^{n}+3^{(n+1)}+3^{(n+2)}=3^{n}(1+3+9)=13{\cdot}3^{n}}\)

3.
\(\displaystyle{ t\equiv 4 (mod5)\\
t^{2}\equiv 16\equiv 1 (mod5)}\)

W 1 coś jest nie tak, bo skoro \(\displaystyle{ NWD(a,b)=12}\), to \(\displaystyle{ a\geq 12 b\geq 12}\), a wtedy \(\displaystyle{ a^2+b^2\geq 288}\)

a tak dla (k,m)=1
a=12k
b=12m
\(\displaystyle{ k^{2}+m^{2}=\frac{2}{3}}\)
co jest bez sensu

edit.......

1. Suma 2 liczb naturalnych wynosi 96, a ich największy wspólny dzielnik 12. Znajdż te liczby.

\(\displaystyle{ a=12k\\
b=12m\\
(k,m)=1\\
a+b=12(k+m)=96\\
k+m=8}\)
musimy więc znaleźc liczby naturalne względnie pierwsze, których suma wynosi 8:
(k,m):
(1,7)(3,5)(5,3)(7,1)
czyli możliwe pary (a,b) to:
(12,84), (36, 60), (60,36), (84,12)