Matematyka.pl

1. Wykaż ze różnica każdych dwóch liczb trzycyfrowych napisanych przy pomocy tych samych cyfr jest podzielna przez 3.
2. Dowiedż że jeżeli nεC to n� - 3n� + 2n jest podzielne przez 6.
3. Wykaż że różnica 4 potęg dwóch dowolnych liczb całkowitych różniących się o 2 jest podzielna przez 8.

Zad.1
Wprowadźmy zapis \(\displaystyle{ \overline{abc}}\), który oznacza liczbę trzycyfrową. Liczbą setek jest a, liczbą dziesiątek b oraz liczbą jedności c. Czyli \(\displaystyle{ \overline{abc}=100a+10b+c}\).
Niech więc \(\displaystyle{ \overline{abc}}\) będzie dowolną liczbą trzycyfrową. Liczby trzycyfrowe, które można zbudować z tych samych cyfr, to: \(\displaystyle{ \overline{abc}, \overline{acb}, \overline{bac}, \overline{bca}, \overline{ cab}, \overline{cba}}\).
1. \(\displaystyle{ \overline{abc} - \overline{abc}=0}\)
Oczywiście 3|0.
W dalszych przypadkach będę brał 9 przed nawias, co oznacza, że dana liczba jest podzielna przez 9 - tym bardziej więc jest podzielna przez 3.
2. \(\displaystyle{ \overline{abc} - \overline{acb}= 100a+10b+c-100a-10c-b=9b-9c=9(b-c)}\)
3. \(\displaystyle{ \overline{abc} - \overline{bac}=100a+10b+c-100b-10a-c=90a-90b=9(10a-10b)}\)
4. \(\displaystyle{ \overline{abc} - \overline{bca}=100a+10b+c-100b-10c-a=99a-90b-9c=9(11a-10b-c)}\)
5. \(\displaystyle{ \overline{abc} - \overline{cab}=100a+10b+c-100c-10a-b=90a+9b-99c=9(10a+b-11c)}\)
6. \(\displaystyle{ \overline{abc}- \overline{cba}=100a+10b+c-100c-10b-a=99a-99c=9(11a-11c)}\)
Wykazaliśmy więc to, o co proszono w zadaniu - a nawet więcej. Różnica taka jest zawsze podzielna przez 9 ( w pierwszym przypadku oczywiście 9|0).

Zad.2
\(\displaystyle{ n^3 -3n^2 +2n=n( n^2 - 3n +2)=n( n^2 -n -2n+2) = \\ n[ n(n-1)-2(n-1)]=n(n-1)(n-2)}\)
Mamy tutaj iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych, więc co najmniej jedna z nich jest podzielna przez 2 i jedna z nich jest podzielna przez 3. Czyli ich iloczyn jest podzielny przez 6.

Zad.3
Niech tymi liczbami będą a i a+2.
Wtedy:
\(\displaystyle{ (a+2)^4 - a^4=[(a+2)^2]^2 - (a^2)^2 = [(a+2)^2 -a^2 ][(a+2)^2 +a^2]=\\ (a^2 +4a+4-a^2)(a^2 +4a+4+a^2)=(4a+4)(2a^2 +4a+4)= \\ 4(a+1) 2( a^2 +2a+2)=8(a+1)(a^2 +2a+2)}\)
Więc istotnie różnica ta jest podzielna przez 8.