Matematyka.pl

Witam serdecznie,
potrzebuje pomocy z następującym zadaniem.

Proszę pokazać, że:
1.
\(\displaystyle{ 10|(37 ^{100}-37 ^{20})}\)

2.
\(\displaystyle{ 10|(37 ^{500}-1})}\)

Próbowałem zrobić pierwszy przykład:
\(\displaystyle{ (37 ^{100}-37 ^{20})= (37^{20})^{5}-37 ^{20}}\)

Jeśli przyjmiemy,że \(\displaystyle{ 37^{20}=n}\) to

\(\displaystyle{ (37^{20})^{5}-37 ^{20}=n^{5}-n}\)

Dalej próbowałem udowodnić indukcyjnie że \(\displaystyle{ (n+1)^{5}-(n+1)}\) jest podzielne przez 10, doszedłem do czegoś takiego:

\(\displaystyle{ (n+1)^{5}-(n+1)= n^{5}+ 5n^{4} + 10n^{3} + 10n^{2}+4n}\)

W tym miejscu się zatrzymałem, da się udowodnić to zadanie inaczej niż przez indukcję?
Wyczytałem w internecie, że może tu być pomocne twierdzenie Eulera, lecz nie wiem jak
użyć go w tym zadaniu.

\(\displaystyle{ n^5-n=n(n^4-1)=n(n^2-1)(n^2+1)=(n-1)n(n+1)(n^2+1)=\\=(n-1)n(n+1)(n^2-4+5)=5(n-1)n(n+1)+(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)}\)
i uzasadnij, że oba składniki są podzielne przez \(\displaystyle{ 10.}\)-- 4 kwi 2017, o 23:42 --Można też inaczej: bezpośrednio z małego twierdzenia Fermata (szczególny przypadek wspomnianego twierdzenia Eulera) mamy, że \(\displaystyle{ 5}\) dzieli \(\displaystyle{ n^5-n}\), a podzielność przez \(\displaystyle{ 2}\) jest oczywista, bo liczba \(\displaystyle{ n}\) jest tej samej parzystości, co \(\displaystyle{ n^5,}\) gdy \(\displaystyle{ n \in \NN}\). Zatem mamy podzielność przez \(\displaystyle{ 2\cdot 5=10}\), bo \(\displaystyle{ \NWD(2,5)=1}\).

Można również z kongruencji:

\(\displaystyle{ 37^{2} \equiv -1 \pmod{10} \Rightarrow 37^{100} - 37^{20} \equiv 1 - 1 = 0 \pmod{10}}\)

A jeszcze prościej popatrzyć jak wygląda odsysania cyfra potęg siódemki. \(\displaystyle{ 7,9,3,1,...}\)

Dziękuje wam za pomoc.
Niestety dalej nie wiem jak rozwiązać ten drugi przykład.
\(\displaystyle{ 10|(37 ^{500}-1})}\)

Analogicznie spróbuj jak Chewbacca97 z kongruencji.

Da się również użyć tutaj twierdzenia Eulera, skoro już o nim wspomniałeś:
\(\displaystyle{ \phi(10)=\phi(2 \cdot 5)=\phi(2) \cdot \phi(5)=1\cdot 4=4}\),
ponadto \(\displaystyle{ \NWD(10,37)=1}\), więc z tw. Eulera \(\displaystyle{ 37^4 \equiv 1 \pmod{10}}\).
Zaś \(\displaystyle{ 37^{500}=(37^4)^{125}}\).

Natomiast najwygodniej (i bez grubych twierdzeń) jest chyba z wykorzystaniem kongruencji (jak już zasugerowano) pokazać, że
\(\displaystyle{ 37^{4k}\equiv 1 \pmod{10}}\)