Matematyka.pl

Wykaż, że iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych, z których środkowa jest sześcianem liczby naturalnej większej od 1, jest podzielny przez 168 (*** dla chętnych przez 504 z wyostrzonym warunkiem oczywiście, gdy liczba ta jest większa od 2). Jak zawsze prośba: bez KONGURENCJI

\(\displaystyle{ 168=8 \cdot 3 \cdot 7}\)
\(\displaystyle{ (n^3-1)n^3(n^3+1)=(n-1)n(n+1)n^2(n^2+n+1)(n^2-n+1)}\)
1. Podzielność przez 3 załatwia iloczyn trzech kolejnych liczb \(\displaystyle{ (n-1)n(n+1)}\)
2. Podzielność przez 8 zapewnia już iloczyn \(\displaystyle{ (n-1)n^3(n+1)}\)
a) Jeżeli \(\displaystyle{ n}\) jest parzyste to \(\displaystyle{ n^3}\) dzieli się przez 8
b) Jeżeli \(\displaystyle{ n}\) jest nieparzyste to wśród dwóch kolejnych parzystych jedna z nich jest podzielna co najmniej przez 4.
3. Podzielność przez 7 wykażesz wstawiając do \(\displaystyle{ (n^3-1)n^3(n^3+1)}\):
a) \(\displaystyle{ n=7k}\)
b) \(\displaystyle{ n=7k \pm 1}\)
c) \(\displaystyle{ n=7k \pm 2}\)
d) \(\displaystyle{ n=7k \pm 3}\)
4. Podzielność przez 9 (dla podzielności przez 504) wykażesz wstawiając do \(\displaystyle{ (n^3-1)n^3(n^3+1)}\):
a) \(\displaystyle{ n=9k}\)
b) \(\displaystyle{ n=9k \pm 1}\)
c) \(\displaystyle{ n=9k \pm 2}\)
d) \(\displaystyle{ n=9k \pm 3}\)
e) \(\displaystyle{ n=9k \pm 4}\)
Wiem, że to jest pracochłonne, jednak zawsze skuteczne.


Pewnie za chwilę inni dopiszą różne użyteczne tricki i sztuczki.

EDIT
Pisząc o pracochłonności chodziło mi o wymagania niektórych sprawdzających, oczekujących pełnych rozwiązań typu:
3c) \(\displaystyle{ n=7k \pm 2}\)
>
\(\displaystyle{ ((7k+2)^3-1)(7k+2)^3((7k+2)^3+1)=(7^3k^3+3 \cdot 7^2k^2 \cdot 2+3 \cdot 7k \cdot 4+8-1)(7^3k^3+3 \cdot 7^2k^2 \cdot 2+3 \cdot 7k \cdot 4+8)(7^3k^3+3 \cdot 7^2k^2 \cdot 2+3 \cdot 7k \cdot 4+8+1)=7(7^2k^3+3 \cdot 7k^2 \cdot 2+3 \cdot k \cdot 4+1)(7k+2)^3((7k+2)^3+1)}\)
>>
\(\displaystyle{ ((7k-2)^3-1)(7k-2)^3((7k-2)^3+1)=(7^3k^3-3 \cdot 7^2k^2 \cdot 2+3 \cdot 7k \cdot 4-8-1)(7^3k^3-3 \cdot 7^2k^2 \cdot 2+3 \cdot 7k \cdot 4-8)(7^3k^3-3 \cdot 7^2k^2 \cdot 2+3 \cdot 7k \cdot 4-8+1)=((7k-2)^3+1)(7k-2)^37(7^2k^3-3 \cdot 7k^2 \cdot 2+3 \cdot k \cdot 4-1)}\)

lub przynajmniej:
\(\displaystyle{ n=7k+m \ \ \wedge \ m \in \left\{ -3,-2,-1,0,1,2,3\right\} \\
(n^3-1)n^3(n^3+1)=((7k+m)^3-1)(7k+m)^3((7k+m)^3+1)=\\
(7M_1+m^3-1)(7M_2+m^3)(7M_3+m^3+1)=\\
= \begin{cases} (7M_1-7 \cdot 4)(7M_2-27)(7M_3-26) &\text{dla } m=-3\\
(7M_1-9)(7M_2-8)(7M_3-7) &\text{dla } m=-2\\
(7M_1-2)(7M_2-1)(7M_3) &\text{dla } m=-1\\
(7M_1-1)(7M_2)(7M_3+1) &\text{dla } m=0\\
(7M_1)(7M_2+1)(7M_3+2) &\text{dla } m=1\\
(7M_1+7 )(7M_2+8)(7M_3+9) &\text{dla } m=2\\
(7M_1+26)(7M_2+27)(7M_3+7 \cdot 4) &\text{dla } m=3
\end{cases}}\)
co i tak zajmuje trochę czasu.

Co do podzielności przez \(\displaystyle{ 3}\) i przez \(\displaystyle{ 8}\), to myślę, że kerajs zaproponował optymalny sposób. Coś o pozostałych dwóch:
1) jeśli liczba \(\displaystyle{ n}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 7}\), to oczywiście \(\displaystyle{ n^3}\) też dzieli się przez \(\displaystyle{ 7}\), natomiast jeśli \(\displaystyle{ n}\) nie dzieli się przez \(\displaystyle{ 7}\), to liczba
\(\displaystyle{ (n^3-1)(n^3+1)=n^6-1}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 7}\).
Mamy bowiem ze wzoru na różnicę sześcianów i wzoru na różnicę kwadratów
\(\displaystyle{ n^6-1=(n-1)(n+1)(n^4+n^2+1)=\\=(n-1)(n+1)\left( (n^2-4)(n^2-9)+14n^2-35\right)=\\=7(2n^2-5)(n-1)(n+1)+(n-3)(n-2)(n-1)(n+1)(n+2)(n+3)}\)
i wśród siedmiu kolejnych liczb całkowitych musi być podzielna przez \(\displaystyle{ 7}\), a więc jeśli nie jest nią \(\displaystyle{ n}\), to któryś z tamtych czynników dzieli się przez \(\displaystyle{ 7}\).

Stąd płynie wniosek, że jedna z liczb \(\displaystyle{ n^3-1, \ n^3+1}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 7}\), gdy \(\displaystyle{ 7\nmid n}\).

2) Co do podzielności przez \(\displaystyle{ 9}\), to jeśli \(\displaystyle{ n}\) ( \(\displaystyle{ n^3}\) to jest środkowa liczba) dzieli się przez \(\displaystyle{ 3}\), to \(\displaystyle{ n^3}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 9}\) (a nawet przez \(\displaystyle{ 27}\)), zaś w przeciwnym razie
\(\displaystyle{ n^6-1=(n^3-1)(n^3+1)}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 9}\).
Któraś z liczb \(\displaystyle{ n-1, \ n+1}\) musi być bowiem w takim układzie podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\), zaś
\(\displaystyle{ a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)=(a+b)^3-3ab(a+b)}\)
i stąd jeśli \(\displaystyle{ 3|a+b}\), to \(\displaystyle{ 9|a^3+b^3}\).