Podzielność sumy wyrazów ciągu

poetaopole · Post autor: **poetaopole** » 21 maja 2017, o 06:55

Wykaż, że suma \(\displaystyle{ 1+4+ 4^{2}+ 4^{3}+...+ 4^{2n}+ 4^{2n+1}}\) dzieli się przez 5 dla dowolnej liczby naturalnej. Byłbym wdzięczny za rozwiązanie bez użycia KONGURENCJI. Nie jestem pewien, czy autor zadania właściwie opisał ostatni składnik tej sumy. Mógłby ktoś to zbadać dla kilku początkowych naturalnych \(\displaystyle{ n}\). Mam z tym jakiś elementarny kłopot.

kerajs · Post autor: **kerajs** » 21 maja 2017, o 06:57

\(\displaystyle{ 1+4+ 4^{2}+ 4^{3}+...+ 4^{2n+1}=(1+4)+4^2(1+4)+...+4^{2n}(1+4)=5(1+4^2+...+4^{2n})}\)