Matematyka.pl

Udowodnić, że jeżeli liczba całkowita jest podzielna przez 3 i jest ona sumą pięciu kwadratów liczb całkowitych, to co najmniej dwa z tych kwadratów są podzielne przez 9.

Ma ktoś pomysł jak to zapisać?

Możliwe reszty z dzielenia kwadratów liczb całkowitych przez \(\displaystyle{ 3}\) to \(\displaystyle{ 0,1}\) (pierwszy przypadek ma miejsce dla kwadratów liczb podzielnych przez trzy, drugi dla kwadratów niepodzielnych).

Ponadto gdy 3 dzieli liczbę \(\displaystyle{ k^{2}}\), gdzie \(\displaystyle{ k}\) jest całkowita, to także \(\displaystyle{ 3}\) dzieli \(\displaystyle{ k}\) (nie wiem, czy znany jest Ci ten fakt, jak nie, to lepiej udowodnić).

Zatem jeśli \(\displaystyle{ 3|x}\) oraz \(\displaystyle{ x=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2}+a_{5}^2}\)
dla pewnych \(\displaystyle{ a_{1},...a_{5}}\) całkowitych, to
\(\displaystyle{ 3 | a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2}+a_{5}^2}\), a więc liczba
tych spośród \(\displaystyle{ a_{1},..a_{5}}\), które nie dzielą się przez \(\displaystyle{ 3}\), musi być wielokrotnością \(\displaystyle{ 3}\).

Dzięki za pomoc (znowu ). Co do tego dowodu, to może być coś takiego?
Dla \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ m}\) całkowitego

\(\displaystyle{ k^{2}=3m}\)

\(\displaystyle{ k= \sqrt{3m}}\)

więc

\(\displaystyle{ m=3 n^{2}}\)

\(\displaystyle{ k=3n}\)

Nie wiem czy to nie jest zbyt naciągane.

Naciągane - to nie jest dowód, tylko stwierdzenie "jest tak, bo chcę, żeby tak było". Dlaczego wg Ciebie \(\displaystyle{ m=3n^2}\)?

JK

Generalnie tok myślenia był taki, że skoro \(\displaystyle{ k}\) jest całkowite i \(\displaystyle{ k= \sqrt{3} \cdot \sqrt{m}}\) to \(\displaystyle{ \sqrt{m}= \sqrt{3} \cdot \sqrt{ n^{2} }}\) dla \(\displaystyle{ n}\) całkowitego. Faktycznie to jest strasznie wymuszone, mógłby ktoś przedstawić ten dowód albo dać wskazówkę jak tego dowieść? Nic mi nie przychodzi do głowy.

Niech \(\displaystyle{ k}\) będzie liczbą całkowitą i \(\displaystyle{ 3 | k^{2}}\). Zatem
\(\displaystyle{ k^{2}=3l}\) dla pewnego \(\displaystyle{ l}\) naturalnego. Zapiszmy \(\displaystyle{ k=3m+r}\), gdzie \(\displaystyle{ r\in\left\{ 0,1,2\right\}}\) oraz \(\displaystyle{ m \in \ZZ}\) (por. dzielenie z resztą). Po podniesieniu do kwadratu mamy
\(\displaystyle{ 9m^{2}+6mr+r^{2}=3l}\), a po prostych przekształceniach, \(\displaystyle{ r^{2}=3(l-3m^{2}-2mr)}\). Po prawej stronie mamy liczbę podzielną przez \(\displaystyle{ 3}\), zatem \(\displaystyle{ 3}\) dzieli \(\displaystyle{ r^{2}}\). Ale \(\displaystyle{ r^{2}\in \left\{ 0,1,4\right\}}\), więc musi być \(\displaystyle{ r^{2}=0}\), czyli \(\displaystyle{ r=0}\)

Strasznie brzydki dowód, ale taki mi akurat przyszedł na myśl. Inaczej:
niech \(\displaystyle{ k \in \ZZ}\). Dokładnie jedna z liczb \(\displaystyle{ k,k-1, k+1}\) jest podzielna przez trzy.
Jeśli \(\displaystyle{ k^{2}=3l}\) dla pewnego \(\displaystyle{ l}\) całkowitego, to równoważnie \(\displaystyle{ k^{2}-1=3l-1}\).
\(\displaystyle{ 3l-1}\) daje resztę \(\displaystyle{ 2}\) z dzielenia przez \(\displaystyle{ 3}\), więc nie dzieli się przez \(\displaystyle{ 3}\). Zatem \(\displaystyle{ k^{2}-1=(k-1)(k+1)}\) nie dzieli się przez trzy, a stąd ani \(\displaystyle{ k-1}\), ani \(\displaystyle{ k+1}\) nie dzieli się przez \(\displaystyle{ 3}\). Wobec tego \(\displaystyle{ k}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 3}\).

Dzięki wielkie jeszcze raz. Przygotowuje się na konkurs i zadania na podzielność idą mi dość opornie, no ale teraz wiem w jakim kierunku kombinować.