Matematyka.pl

Wykazać, że liczba \(\displaystyle{ (3^{32}-1)}\) jest podzielna przez 8. Będę wdzięczny za wskazówki co do rozwiązywania zadań tego typu.

Zapisz to sobie inaczej:
\(\displaystyle{ 3^{32}=(3^{2})^{16}}\)
\(\displaystyle{ 1=1^{16}}\) możesz więc zapsiać:
\(\displaystyle{ (3^{2})^{16}-1^{16}}\)
A to rozłożysz z odpowiednich wzorków (są np. w kompendium)

ten wzór akurat jest dość prosty:

\(\displaystyle{ a^n-b^n=(a-b)\sum\limits_{k=1}^{n}a^kb^{n-k}}\)

a w większości przypadków (jak tu) postać tego szeregu nie ma większego znaczenia - ważne, że dla całkowitych \(\displaystyle{ a,b}\) jego suma jest całkowita

metoda kongruecji:
\(\displaystyle{ 3^{2}\equiv1(mod8)\\
3^{32}\equiv1(mod8)\\
3^{32}-1\equiv0(mod8)}\)
cnd
polecam sie zapoznac z kongruencjami, fajna sprawa

Można też skorzystać z tego, że
\(\displaystyle{ 2^n|3^{2^n}-1}\)