Matematyka.pl

Zadanie jest takie : Proszę o wskazówki z czego skorzystać, bo z ZSD chyba nie pójdzie.

Mamy ciąg \(\displaystyle{ a_{1}, a _{2}, a_{3},.... a_{2n+1}}\). I tworzymy permutację tego ciągu.
Wykaż że znajdą się takie dwie liczby które dla danego indeksu mają tę samą parzystość.

Wiem że wtedy jest para liczb podzielna przez \(\displaystyle{ 2}\). Ale nie umiem tego udowodnić.

Zadanie jest do bardzo analogiczne to zadania nr 14 z żabkami. Już chciałem zamiast żab kłaść tam liczby. Ale może ktoś da wskazówką jak zrobić to tak aby nie mieszać w to szachownicy.
384833.htm

Jak to rozumiesz:: "dwie liczby dla danego indeksu mają tę samą parzystość"?

Oznaczmy permutację przez \(\displaystyle{ \left(a_{1}', a_{2}', \dots , a_{2n+1}' \right)}\). Załóżmy nie wprost, że nie ma takiego \(\displaystyle{ i}\), że \(\displaystyle{ 2|a_{i}-a_{i}'}\). Wobec tego dla każdego \(\displaystyle{ i}\) liczby \(\displaystyle{ a_{i}}\) oraz \(\displaystyle{ a_{i}'}\) są różnej parzystości. Wobec tego stwierdzamy, że skoro mamy \(\displaystyle{ 2n+1}\) par liczb różnej parzystości to dokładnie połowa \(\displaystyle{ \left( 2n+1 \right)}\) spośród wszystkich liczb \(\displaystyle{ a_{1},a_{2}, \dots , a_{2n+1}, a_{1}', a_{2}', \dots , a_{2n+1}'}\) jest nieparzysta. Z drugiej strony takich liczb musi być parzysta ilość, gdyż ciąg \(\displaystyle{ \left(a_{1}', a_{2}', \dots , a_{2n+1}' \right)}\) był permutacją ciągu \(\displaystyle{ \left(a_{1}, a_{2}, \dots , a_{2n+1} \right)}\) (w obu było tyle samo liczb nieparzystych, więc w sumie na pewno jest ich parzysta ilość). To oznacza sprzeczność, która dowodzi tezy zadania.