Matematyka.pl

Uzasadnij, że dla każdej liczby naturalnej n liczba \(\displaystyle{ 7^{n} \cdot 3^{2n}-2^{3n}}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 11}\).

Inna wskazówka:
\(\displaystyle{ 7^{n} \cdot 3^{2n}-2^{3n}=63^n-8^n=(63-8)\cdot \dots}\)

Skorzystaj ze wzoru na różnicę n-tych potęg.

\(\displaystyle{ 7^{n} \cdot 3^{2n}-2^{3n}=63^{n}-8^{n}=11m}\)
dla \(\displaystyle{ n=1}\):
\(\displaystyle{ 63^{n}-8^{n}=63-55=11 \cdot 5}\)

Zakładam, że wyrażenie jest prawdziwe dla \(\displaystyle{ n=k}\)
\(\displaystyle{ 63^{k}-8^{k}=11m}\)

Dowodzę prawdziwość wyrażenie dla \(\displaystyle{ n=k+1}\)
\(\displaystyle{ 63^{k+1}-8^{k+1}=11m
\\ 63^{k}=11m+8^{k}
\\ 63 \cdot 63^{k}-8 \cdot 8^{k}=63(8^{k}+11m)-8 \cdot 8^{k}=63 \cdot 11m+63 \cdot 8^{k}=11(63m+5 \cdot 8^{k})=11l \\
k,l,m,n\in\NN}\)

Na mocy indukcji matematycznej wyrażenie jest prawdziwe dla każdego \(\displaystyle{ n\in\NN}\).

"Wyrażenie jest prawdziwe" czy "wyrażenie jest prawdziwe dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN}\)" to jakiś potworek
gramatyczno-matematyczny (choć może to znowu mój puryzm daje o sobie znać). Można napisać, że na mocy zasady indukcji matematycznej rozważana podzielność zachodzi dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN}\). Poza tym \(\displaystyle{ m}\) się zmienia, więc masz pewien konflikt oznaczeń (i też na początku nie piszesz, czym jest rzeczone \(\displaystyle{ m}\), a to nieładnie).
Poza tym OK.