Matematyka.pl

Zad1 Znaleźć wszystkie liczby naturalne n dla których liczba\(\displaystyle{ n^{2}+1}\) jest podzielna przez n+1.
Zad2
Dla każdej liczby naturalnej a znaleźć liczbę złożona n ,taką iż \(\displaystyle{ n|a^{n}-a}\)
Zad3
Dowieść że istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych n takich, że \(\displaystyle{ n|2^{n} +1}\) i znaleźć wszystkie takie liczby pierwsze n.

Jak to jest w ogóle z tą podzielnością istnieją jakieś konkretne metody, no bo wiem jakie są warunki by liczba była podzielna przez 2, 3, 4 i tak dalej.Ale co zrobić gdy mam taka sytuacja jak w zadaniu pierwszym.

Pierwsze to mozesz tak zrobic:
\(\displaystyle{ n^{2}+1=n^{2}+2n+1-2n=(n+1)^{2}-2n}\) i po paru przemysleniach \(\displaystyle{ n=1}\)

I po paru przemyśleniach hehe
Po prostu \(\displaystyle{ n^2 + 1 = (n-1)(n+1) + 2}\) więc \(\displaystyle{ (n+1)|2}\)

A co do drugiego, to gdy \(\displaystyle{ a}\) jest nieparzyste, wystarczy wziąć \(\displaystyle{ n = 2a}\), natomiast jeżeli jest parzyste i większe od dwóch to zawsze jest złożone i wtedy wez sobie \(\displaystyle{ n = a}\). Wiec wystarczy sprawdzić oddzielnie przypadek dla \(\displaystyle{ a = 2}\) czyli wezmy dla tego przypadku \(\displaystyle{ n = 2}\).

Ad 3:
Zadanie to pojawia się w książce "200 zadań z elementarnej teorii liczb" Wacława Sierpińskiego i pozwolę sobie zacytować zaprezentowane tam rozwiązanie:
Mamy \(\displaystyle{ 3| 2^3 +1}\), jeżeli zaś przy pewnym naturalnym m jest \(\displaystyle{ 3^m |2^{3^m} +1}\), to \(\displaystyle{ 2^{3^m} = 3^m k -1}\), gdzie k jest liczbą naturalną, skąd \(\displaystyle{ 2^{3^{m+1}} =(3^m k -1)^3=3^{3m} k^3 - 3^{2m+1} k^2 + 3^{m+1} k -1= 3^{m+1} t - 1}\), gdzie t jest liczbą naturalną, zatem \(\displaystyle{ 2^{3^{m+1}} +1=3^{m+1} t}\), skąd \(\displaystyle{ 3^{m+1} | 2^{3^{m+1}} +1}\), skąd wynika przez indukcję, że \(\displaystyle{ 3^{m} | 2^{3^m} +1}\) dla m=1,2, ... . Ale są i inne liczby naturalne n, spełniające warunek \(\displaystyle{ n |2^n +1}\). Jeżeli bowiem przy pewnym naturalnym n mamy \(\displaystyle{ n| 2^n +1}\), to mamy też \(\displaystyle{ 2^n +1 | 2^{2^n +1} +1}\), gdyż, jeżeli \(\displaystyle{ 2^n +1=k n}\), gdzie k jest liczbą naturalną, oczywiście nieparzystą, to \(\displaystyle{ 2^n +1 | 2^{kn} +1= 2^{2^n +1} +1}\). Tak więc z \(\displaystyle{ 9|2^9 +1}\) wynika, że \(\displaystyle{ 513| 2^{513} +1}\).
Przypuśćmy teraz, że n jest liczbą pierwszą oraz \(\displaystyle{ n|2^n +1}\). W myśl małego twierdzenia Fermata mamy wtedy \(\displaystyle{ n|2^n -2}\), zatem, wobec \(\displaystyle{ n|2^n +1}\), jest \(\displaystyle{ n|3}\), a ponieważ n jest liczbą pierwszą, więc n=3. Istotnie \(\displaystyle{ 3|2^3 +1}\). Zatem istnieje t ylko jedna liczba pierwsza n taka, że \(\displaystyle{ n|2^n +1}\), mianowicie n=3.

a czemu n+1 jet podzielne przez dwa,

po prostu dzielimy \(\displaystyle{ n^2+1}\) przez \(\displaystyle{ n+1}\)
a więc \(\displaystyle{ \frac{n^2+1}{n+1}=\frac{(n-1)(n+1)+2}{n+1}=(n-1)+\frac{2}{n+1}}\)
aby wynik był całkowity ułamek \(\displaystyle{ \frac{2}{n+1}}\) też musi mieć wartość całkowitą
czyli \(\displaystyle{ n+1=2\; n=1 n+1=1\; n=0\vee n+1=-1\;n=-2 n+1=-2\; n=-3}\)
ja bym to tak rozwiązał.

A ponieważ n ma być naturalne, to otrzymujemy, że n=0 lub n=1 ( o ile zakładamy, że zero jest naturalne .

aha zaudi, jeszcze jedno, to co napisał palazi, oznacza że 2 jest podzielne przez (n+1), nie na odwrót.
palazi, o takie coś Ci chodziło w 2?
jeśli dobrze zrozumiałem treść Twojego przesłania to:
dla a parzystego :
\(\displaystyle{ \frac{a^a-a}{a}=a^{a-1}-1}\) co jest zawsze liczbą całkowitą.
a dla nieparzystego:
\(\displaystyle{ \frac{a^{2a}-a}{2a}=\frac{1}{2}a^{2a-1}-\frac{1}{2}}\)
a więc jeśli mamy połowę z liczby nieparzystej i odejmiemy od tego \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) to otrzymamy zawsze liczbę całkowitą.

Mniej więcej tak, choć dla a nieparzystego ładniej by to wyglądało jakby to rozpisac na modulo niż napisanie "połowa liczby nieparzystej" :] Ale idea mniej więcej taka właśnie.

No i to co napisałeś dla a parzystego, to dla parzystego ale róznego od \(\displaystyle{ a = 2}\) (bo dla \(\displaystyle{ a=2}\) liczba \(\displaystyle{ n = a}\)nie jest złożona) No i zauważyłem błąd u siebie, tzn własnie jeżeli chodzi o ten przypadek szczególny, gdy \(\displaystyle{ a = 2}\), trzeba znalezć taka liczbę złożoną \(\displaystyle{ n}\) żeby zachodziła podzielność \(\displaystyle{ n| 2^n - 2}\) i sprawdziłem kilka pocz. liczb i dalej nie chce mi się sprawdzać niech ktoś poszuka jak jemu się nudzi :]

z tego co widzę to zachodzi to tylko dla liczb pierwszych wie ktoś w jaki sposób to wytłumaczyć?

nie no, jeżeli taka jest treśc zadania, to musi zachodzic dla jakiejś złożonej. Bo to ze dla pierwszych zachodzi to chyba jest jasne.