Matematyka.pl

Przy zadaniu: Udowodnij, że \(\displaystyle{ 93 ^{93}- 33 ^{33}}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 10}\) natknąłem się na pewną niezrozumiałość. \(\displaystyle{ 93 ^{93} \equiv 3 ^{93}\pmod{10}}\) to rozumiem ponieważ jeśli \(\displaystyle{ a \equiv b \pmod{M}}\), to \(\displaystyle{ a ^{n}\equiv b ^{n}\pmod{M}}\), ale skąd wiadomo, że zachodzi \(\displaystyle{ 3^{93} \equiv 3 \pmod{10}}\)?

Wiemy, że \(\displaystyle{ 9\equiv -1 \mod 10}\), albo inaczej: \(\displaystyle{ 3^2 \equiv -1 \mod 10}\). Dalej z przytoczonej równości mamy:

\(\displaystyle{ (3^2)^{46} \equiv (-1)^{46} \mod 10 \Leftrightarrow 3^{92} \equiv 1 \mod 10}\). Mnożąc obustronnie otrzymujesz: \(\displaystyle{ 3^{93} \equiv 3 \pmod{10}}\)