Matematyka.pl

Mam problem z zadaniem:


Udowodnij że liczba:
\(\displaystyle{ 5^n+3^n}\)

Jest podzielna przez \(\displaystyle{ 2}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ n\in \NN}\)

Udowodnij że liczba:
\(\displaystyle{ 9^n+3^n}\)

Jest podzielne przez \(\displaystyle{ 6}\) dla \(\displaystyle{ n\in\NN_+}\)

Serdeczne proszę o pomoc...

A pokażesz jak to zrobić indukcyjnie ???

Możesz bez indukcji. W pierwszym zadaniu sumujesz dwie liczby nieparzyste (wyjaśnij to). Wystarczy wykazać więc, że taka suma jest parzysta. W drugim zadaniu sumujesz dwie liczby nieparzyste, więc suma jest parzysta. Ponadto, sumujesz liczby podzielne przez \(\displaystyle{ 3}\), więc suma również ma tę własność. Ostatecznie, dostajesz liczbę podzielną przez \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ 3}\) jednocześnie, a jest to charakteryzacja podzielności przez \(\displaystyle{ 6}\).

Dziękuję Ci Dualny91

O coś takiego właśnie mi chodziło... Nie o indukcje matematyczną...

Widzę że kolega też z Politechniki, pozdrówki.

\(\displaystyle{ 5^{n}+ 3^{n}}\), podzielne przez 2

dla \(\displaystyle{ n = 1}\)

\(\displaystyle{ 5^{1}+ 3^{1} = 8}\)

dla \(\displaystyle{ n = k + 1}\)

\(\displaystyle{ 5^{k+1}+ 3^{k+1} = 5^{k} \cdot 5^{1} + 3^{k} \cdot 3^{1} = 5(5^{k}+3^{k}) + 2 \cdot 3^{k}}\)

Staram się robić analogicznie do zadań z zajęć.

Można też tak: \(\displaystyle{ 5^{n} + 3^{n}=( 5^{n}- 3^{n})+2 \cdot 3^{n}=2 \cdot (...)+2 \cdot 3^{n}=2 \cdot ((...)+2 \cdot 3^{n})}\).
Wyrażenie \(\displaystyle{ 5^{n}- 3^{n}}\) rozpisujesz wzorem skróconego mnożenia nr (5) z aktualnych TABLIC MATURALNYCH i nie trzeba tu żadnej indukcji czy innej... POLITECHNIKI
Podobnie udowodnisz drugi z problemów, tyle że będzie nieco ciekawiej, bo nie otrzymasz wprost drugiej 6-tki. Ale \(\displaystyle{ 3 ^{n}}\) wyprodukuje Ci dowolną ilość 3-jek, więc dasz radę i z 6-tką.