Jak udowodnić, że liczba jest podzielna przez 11

rabarbar · Post autor: **rabarbar** » 3 gru 2006, o 15:29

Witam, mam takie zadanko, chodzi o to zeby je zrobic w możliwie zrozumiały sposób :]

Wykaż, że jeżeli w liczbie czterocyfrowej suma cyfr setek i jednosci jest równa sumie cyfr tysiecy i dziesiątek, to liczba dzieli sie przez 11.

Z góry wielkie dzięki Każdemu kto sie z tym problemem zmierzy

Post autor: **Lorek** » 3 gru 2006, o 15:38

Liczbę tą mozna zapisać jako \(\displaystyle{ \overline{abcd}=1000a+100b+10c+d}\)
Wiedząc, że \(\displaystyle{ a+c=b+d}\) mamy do udowodnienia równość
\(\displaystyle{ 1000a+100b+10c+d=11k}\)
a dowodzimy tak
\(\displaystyle{ 1000a+100b+10c+d=1000a+99b+10c+b+d=\\=1000a+99b+10c+a+c=1001a+99b+11c=11(91a+9b+c)=11k}\)

Post autor: **PFloyd** » 3 gru 2006, o 15:41

liczbę tą możemy zapisać w postaci \(\displaystyle{ 1000a+100b+10c+d}\)
\(\displaystyle{ 1000a\equiv -a(mod11)\\
100b\equiv b(mod11)\\
10c\equiv -c(mod11)\\
d\equiv d(mod11)}\)

\(\displaystyle{ 1000a+100b+10c+d=11k-a+11p+b+11s-c+11t+d=11(k+p+s+t)+b+d-a-c=11(p+k+s+t)\,\, gdzie\,k,p,s,t\in C}\)

[ Dodano: 3 Grudzień 2006, 15:42 ]
Lorek po raz kolejny mnie wyprzedził