treść zadania prezentuje się tak:
"Uzasadnij, że jeśli dowolne liczby całkowite 'a' oraz 'b' przy dzieleniu przez 5 dają reszty odpowiednio równe 2 oraz 3, to reszta z dzielenia podwojonej sumy kwadratów tych liczb przez 10 wynosi 6."
ja do zadania zabrałem się w taki oto sposób:
• założenie: \(\displaystyle{ a=5s+2;\ b=5t+3;\ a, b, s, t\, \in{C}}\)
• teza: \(\displaystyle{ \exists_{m\in{C}}\,2(a^2+b^2)=10m+6}\)
• dowód:
\(\displaystyle{ 2(a^2+b^2)=10m+6\quad |:2 \\a^2+b^2=5m+3 \\(a+b)^2-2ab=5m+3}\)
// podstawiam za 'a' i 'b'...
\(\displaystyle{ (5s+2+5t+3)^2-2((5s+2)(5t+3))=5m+3}\)
//podnoszę do kwadratu i przemnażam...
\(\displaystyle{ 25s^2+25t^2+25+50st+50s+50t-50st-30s-20t-12=5m+3}\)
//redukuję i grupuję...
\(\displaystyle{ 25s^2+25t^2+13+20s+30t=5m+3 \\25s^2+20s+25t^2+30t+10=5m\quad |:5 \\5s^2+4s+5t^2+6t+2=m \\s(5s+4)+t(5t+6)=m \\(..?)}\)
tutaj wiszę... co dalej? czy w ogóle mój tok rozumowania przedstawiony powyżej jest dobry?
z góry dziękuję za (!sensowne_i_dot_tematu) odpowiedzi !
