Matematyka.pl

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej \(\displaystyle{ n}\), co najmniej jedna z liczb \(\displaystyle{ n^4-8n}\), \(\displaystyle{ n^4+8n}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\).

Na coś takiego wskazują podpowoedzi:
\(\displaystyle{ n^4+8n=n(n+2)(n^2-2n+4)}\)
\(\displaystyle{ n^4-8n=n(n-2)(n^2+2n+4)}\)
Ale co dalej?

Jedna z liczb \(\displaystyle{ n}\), \(\displaystyle{ n+2}\), \(\displaystyle{ n-2}\) musi być podzielna przez \(\displaystyle{ 3.}\)

z tym że tam wychodzi \(\displaystyle{ n(n+2)(n-2)^2}\) lub \(\displaystyle{ (n-2)n(n+2)^2}\)... kmarciniak1, skąd to się wzięło. ?

Ruahyin pisze:z tym że tam wychodzi \(\displaystyle{ n(n+2)(n+2)^2}\) lub \(\displaystyle{ (n-2)n(n+2)^2}\)... kmarciniak1, skąd to się wzięło. ?

Nie można zapisać ostatniego czynnika tak jak ty zrobiłeś bo to nie jest wzór skróconego mnożenia.Zresztą w ogóle nie musisz się nim zajmować.Wystarczy to co napisałem w poprzednim poście.Skoro jedna z liczb \(\displaystyle{ n}\) ,\(\displaystyle{ n+2}\),\(\displaystyle{ n-2}\) musi być podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\) a występują one w rozkładzie na czynniki podanych przez ciebie wyrażeń to co najmniej jedno wyrażenie jest podzielne przez \(\displaystyle{ 3}\).

Tak przy okazji takiego typu zadan. Miałby ktoś może pomysł jak zrobić coś takiego:
Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej \(\displaystyle{ n}\), liczba \(\displaystyle{ (n+1)^3-n}\) nie dzieli sie przez 6?

Dla \(\displaystyle{ n}\) parzystego sześcian jest nieparzysty, więc różnica jest nieparzysta.

Dla \(\displaystyle{ n}\) nieparzystego sześcian jest parzysty, więc różnica jest nieparzysta.