Matematyka.pl

Mam takie pytanie, a raczej zadanie. Jak dowieść ,że różnica kwadratów dwóch liczb całkowitych nie dzielących się przez 3, jest podzielna przez 3 ?

jesli a nie dzieli sie przez 3, to daje reszte 1 lub 2 modulo 3, wiec \(\displaystyle{ a^2\equiv 1\pmod 3}\).

Wezmy sobie jakies dwie liczby niedzielace sie przez 3. Mamy:

\(\displaystyle{ a^2\equiv b^2 od 3}\), czyli

\(\displaystyle{ a^2-b^2\equiv 0 od 3}\).

Mozesz sobie tez rozwazyc przypadki (bez kongruencji), tj. a=3k+r, r=1,2 itd

A może coś takiego: liczbę niepodzielną przez 3 można zapisać np. tak 3x+1 i inną np. 3x+4. Podnieś do kwadratu, odejmij i wychodzi - 18x-15=3(-6x-5).

Tomasz Rużycki pisze:Mozesz sobie tez rozwazyc przypadki (bez kongruencji), tj. a=3k+r, r=1,2 itd

Czyli coś takiego:

rozpatrzmt 3 przypadki:
1 a ≡ 1(mod3) b ≡ 1(mod3) wtedy:
a\(\displaystyle{ ^{2}}\) ≡ 1(mod3) i b\(\displaystyle{ ^{2}}\) ≡ 1(mod3)
czyli a\(\displaystyle{ ^{2}}\)-b\(\displaystyle{ ^{2}}\) ≡ 0(mod3)
2a ≡ 2(mod3) b ≡ 2(mod3) wtedy:
a\(\displaystyle{ ^{2}}\) ≡ 1(mod3) i b\(\displaystyle{ ^{2}}\) ≡ 1(mod3)
czyli a\(\displaystyle{ ^{2}}\)-b\(\displaystyle{ ^{2}}\) ≡ 0(mod3)
3 a ≡ 1(mod3) b ≡ 2(mod3) wtedy:
a\(\displaystyle{ ^{2}}\) ≡ 1(mod3) i b\(\displaystyle{ ^{2}}\) ≡ 1(mod3)
czyli a\(\displaystyle{ ^{2}}\)-b\(\displaystyle{ ^{2}}\) ≡ 0(mod3)
Zatem we wszystkich przypadkach podzielność zachodzi, czyli jest ona zawsze prawdziwa.

Troszkę jeszcze tego nie łapie

Ja we wskazówce mam ,ze liczby postaci m=3k+1 , n=3k+2 , gdzie k ε C , nie dzielą się przez 3. No i teraz mam obliczyć różnice kwadratów tych liczb w trzech przypadkach , (no i tutaj nie rozumiem, jakich trzech ? )

E a znasz może kongruencje ?? Jak tak to ztego co było napisane wszystko powinno być jasne... Hmm, a jak nie znasz to poczytaj np. tu: , powinno byc też o tym coś na forum, ale w kompedii nie ma krutko mówiąc jeżeli A/B= C*B+R to mówimy, że A ≡ R(mod B). Oczywiscie A,B,C,R należą do liczb całkowitych.

Ziom Ziomisław pisze:rozpatrzmt 3 przypadki:

MasH pisze:no i tutaj nie rozumiem, jakich trzech ?

Czytasz czasem co piszą inni użytkownicy?

Pewnie Cie zdziwie ,ale tak czytam . Chodzi mi o to ,ze nie rozumiem co to jest kongruencja

Ech, to co napisałem nie pomaga ? Jak nie to możesz się pobawić w zapisy typu a=3k+1 itp. i rozpatrzyć te same 3 przypadki, ale chyba prościej jest z kongruencji.

Ziom Ziomisław, na Wikipedii nie ma jeszcze artykulu o kongurencji, przynajmniej mi tak pisze.

Kurde link sie pochrzanił.
Najpierw wejdz w tego linka, którego podałem go wyżej
Potem wybierz opcję "Poszukać Kongruencja, w innych artykułach. "
A potem wejdz w pierwszy artykuł z listy:Kongruencja Trafność: 100.0% - -
No i tu jest ten artykuł. Owocnej lektóry .

Takie fajne i ladne w pdf znalazlem ... uencje.pdf

No ładnie, myślę, że MasH powinien już dalej dać sobie radę.

Fajne te kongurencje, jak to sie czlowiek z niektorymi zadaniami meczyl, a tu mozna taki myk zastosowac. W tym pdf-ie jest tez dosc duzo zadanek.

Kongruencja jest naprawdę przydatna, ale stosunkowo mało znana. Osobiście miałem z nią pierwszy kontakt dosć dawno dzięki Pawłoskiemu ( w "Kółku..."-też mozna znaleść co nieco na jej temat tak na marginesie), wiec czasami dziwią tego typu zadania jak choćby to powyższe, które przecież idzie bardzo prosto wyliczyć jeśli tylko znasz odpowiednie haczyki .