Dowód na podzielność wyrażenia przez 11
-
Ruahyin
- Użytkownik
- Posty: 123
- Rejestracja: 25 kwie 2016, o 17:21
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Yakushima
- Podziękował: 80 razy
Dowód na podzielność wyrażenia przez 11
Udowodnij, że \(\displaystyle{ 11|5 ^{21}+4 ^{22}+ 3^{20}}\)
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15496
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5224 razy
Dowód na podzielność wyrażenia przez 11
Wystarczy skorzystać z małego twierdzenia Fermata.
\(\displaystyle{ 5^{10}\equiv 1\pmod{11}\\4^{10}\equiv 1\pmod{11}\\3^{10}\equiv 1\pmod{11}}\),
co wynika z wyżej wspomnianego twierdzenia.
\(\displaystyle{ 5 ^{21}+4 ^{22}+ 3^{20}=5 \cdot (5^{10})^2+4^2\cdot (4^{10})^2+(3^{10})^2}\)
\(\displaystyle{ 5^{10}\equiv 1\pmod{11}\\4^{10}\equiv 1\pmod{11}\\3^{10}\equiv 1\pmod{11}}\),
co wynika z wyżej wspomnianego twierdzenia.
\(\displaystyle{ 5 ^{21}+4 ^{22}+ 3^{20}=5 \cdot (5^{10})^2+4^2\cdot (4^{10})^2+(3^{10})^2}\)