Dopisywanie cyfr do liczby pięciocyfrowej

alniram · Post autor: **alniram** » 23 lut 2005, o 10:05

Jest takie zadanie tekstowe:

Jeśli w liczbie pięciocyfrowej dopiszemy z prawej strony 1, to otrzymamy liczbę trzy razy większą od tej, którą otrzymalibyśmy dopisując do danej liczby pięciocyfrowej 1 z lewej strony. Znajdź tę liczbę pięciocyfrową.

Od czego zacząć???

Post autor: **Rogal** » 23 lut 2005, o 10:29

Poprawiłem temat (mówi coś więcej forumowiczom) i przeniosłem tutaj, bo to jednak jest teoria liczb.

A od czego zacząć? Zapisz tą pięciocyfrową liczbę jako abcde. Dopisz jednykę, czyli masz liczbę 1abcde, która jest 3 razy większa niż liczba abcde1. Obie te "dopisane" liczby musisz zapisać jako 10 w odpowiedniej potędze razy cyfra (zapis dziesiętny). Równanie masz i z tego powinna wyjść ta liczba.

alniram · Post autor: **alniram** » 23 lut 2005, o 18:38

Dzięki za odzew. Ale czy mógłbyś napisać te równanie??? Naprawdę trudne jest to zadanie dla mnie...

kotek1591 · Post autor: **kotek1591** » 23 lut 2005, o 19:23

300000+30000a+3000b+300c+30d+3e=100000a+10000b+1000c+100d+10e+1
z równości tej wynika, iż 3e=1 a stąd e=1/3
co jest sprzeczne gdyż e należy do {0,1,2,3,...8,9}
czyli ODP: Nie istnieje taka liczba pięciocyfrowa. źle!!!

Kurde sory za wprowadzanie w błąd, nawet nie umię wytłumaczyć skąd taki głupi pomysł mi pszyszedł do głowy jeszcze raz sory.

Post autor: **Skrzypu** » 23 lut 2005, o 21:53

kotek1591 pisze:300000+30000a+3000b+300c+30d+3e=100000a+10000b+1000c+100d+10e+1 z równości tej wynika, iż 3e=1 a stąd e=1/3
co jest sprzeczne gdyż e należy do {0,1,2,3,...8,9}
czyli ODP: Nie istnieje taka liczba pięciocyfrowa.

Dlaczego 3e=1 ??

Właśnie nie zupełnie, bo \(\displaystyle{ 3e \equiv 1 (mod 10) e=7}\)

Post autor: **Rogal** » 23 lut 2005, o 22:46

Istnieje, istnieje, tylko po co komu kongruencja? Najlepsze są sposoby najprostsze .

Załóżmy, że mamy liczbę pięciocyfrową abcde. Dopisujemy jedynkę na końcu, czyli mamy sześciocyfrową liczbę abcde1, która jest 3 razy większa od liczby 1abcde. Zapisujemy więc to równanie, korzystając z dobrodziejstw dziesiątkowego układu pozycyjnego:

\(\displaystyle{ 10^{5}a+10^{4}b+10^{3}c+10^{2}d+10^{1}e+1=3\cdot 10^{5}+3\cdot 10^{4}a+3\cdot 10^{3}b+3\cdot 10^{2}c+3\cdot 10^{1}d+3e \\ 70000a+7000b+700c+70d+7e=299999 \ /:7 \\ 10000a+1000b+100c+10d+e=42857}\)
Widzimy wyraźnie, że taka liczba istnieje, a jej cyfry to: a=4, b=2, c=8, d=5 i e=7. Jak ktoś nie dowierza, to niech sobie sprawdzi podaną wyżej zależność .

Post autor: **Skrzypu** » 23 lut 2005, o 23:14

Rogal pisze:Istnieje, istnieje, tylko po co komu kongruencja? Najlepsze są sposoby najprostsze .

Kongruencje wprowadziłem tylko po to, żeby pokazać jaki błąd zauważyłem

Rogal pisze:Dopisujemy jedynkę z przodu, czyli mamy sześciocyfrową liczbę abcde1, która jest 3 razy większa od liczby 1abcde.

na końcu

Post autor: **Rogal** » 23 lut 2005, o 23:21

Sorki, skrót myślowy (tę drugą miałem na myśli) . Już poprawiam

g · Post autor: g » 24 lut 2005, o 00:56

jakos nie mialem sily tego wszystkiego czytac, jesli za kims powtorze to sorki, ale wszystkie te wasze sposoby sa dosyc pokomplikowane na pierwszy rzut oka.

niech x bedzie szukana liczba. 100000+x to jest x i jedynka z przodu. 10x+1 to jest x i jedynka dopisana z tylu. mamy 3(100000+x) = 10x+1 - proste rownanko liniowe.

Post autor: **Rogal** » 24 lut 2005, o 10:18

Też bardzo ładnie, prosto, szybko i skutecznie. Szacuneczek