Matematyka.pl

Drodzy uzytkownicy prosze was o pomoc w tym zadaniu:
Wykaz, ze \(\displaystyle{ 5^{12}-1}\) jest liczbą podzielną przez \(\displaystyle{ 31}\) .

Zapoznaj się z regulaminem - zły temat, zły dział, brak TeX-a...
A co do zadania - ta podzielność nie zachodzi, więc może źle przepisałeś treść?

rozłóżmy 5^12 - 1 = (5^6)^2 - 1 = (5^6 - 1)(5^6 + 1) = ((5^3)^2 - 1)(5^6 + 1) = (5^3 - 1)(5^3 +1)(5^6 + 1) = (5-1)(5^2 + 5 + 1)(5^3 + 1)(5^6 + 1) = 4(25 + 6)(5^3 + 1)(5^6 + 1) = 31*4*(5^3+1)(5^6+1), czyli jest podzielne przez 31, bo jednym z czynnhików jest 31:)
PS. korzystaliśmy ze wzorów:
(a^3 - b^3) = (a - b)(a^2 + ab + b^2)
a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)
^ oznacza do potegi

Juz zapoznalem sie z regulaminem, a Texa wstawilem za jakies 5 minut, ale mnie uprzedziles Przepraszam za te wszystkie bledy ale to dopiero moj 1 post. Zadanie przepisalem dobrze. W odpowiedziach znalazlem do tego zadania wskazowke:

Zastosuj dwukrotnie wzor na roznice kwadratow, a nastepnie na roznice szescianow.

[ Dodano: 9 Listopad 2006, 21:03 ]
Z pomoca podpowiedzi udalo mi sie rozwiazac to zadanie. Dziekuje marcia07 za rozwiazanie zadania.

Przepraszam za zamieszanie. Przeczytałem 15 zamiast 5. W ramach poprawy napiszę rozwiązanie z modulo
Zauważmy, że \(\displaystyle{ 5^3 =125 \equiv 1 ( mod\ 31)}\). Podnieśmy więc tę kongruencję stronami do potęgi 4. Otrzymujemy, że \(\displaystyle{ 5^{12} \equiv 1 (mod\ 31)}\). Więc istotnie \(\displaystyle{ 31| 5^{12} -1}\).