Matematyka.pl

Rozwiązując kolejne zadania maturalne, natrafiłem na następujące. Wykaż że dla każdej liczby całkowitej \(\displaystyle{ k}\) liczba \(\displaystyle{ k(k+1)(k+9)(k ^{2}+1)}\) jest podzielna przez 5.
\(\displaystyle{ k ^{2}+1}\) zmieniłem na \(\displaystyle{ (k-2)(k+2)+5}\). W związku z tym otrzymałem sumę \(\displaystyle{ k(k+1)(k+9)(k-2)(k+2)+5k(k+1)(k+9)}\). Drugi składnik dzieli się przez 5, ponieważ występuje tam iloczyn tej liczby, jednak nie mam pojęcia jak udowodnić że pierwszy składnik sumy jest podzielny przez 5.

Zamień \(\displaystyle{ k+9}\) na \(\displaystyle{ (k-1)+10}\).

JK

Oczywiście, dziękuję za podpowiedź od razu wszystko widać.