Matematyka.pl

Wykaż, bez uzycia kalkulatora i tablic, ze \(\displaystyle{ \sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}-\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}}\) jest liczbą całkowitą:).

Ciekawi mnie, ile znacie sposobów na rozwiązanie tego zadania? Ja się doliczyłem trzech ( ostatnio ten trzeci podawałem na forum).

Sposób pierwszy:
Zauważ, że \(\displaystyle{ 5 \sqrt{2} +7=2 \sqrt{2} + 3 2 + 3 \sqrt{2} +1=( \sqrt{2} +1)^3}\). Również \(\displaystyle{ 5 \sqrt{2} -7=( \sqrt{2}-1)^3}\). Czyli \(\displaystyle{ \sqrt[3]{ 5 \sqrt{2} +7} - \sqrt[3]{5 \sqrt{2} -7}= \sqrt[3]{ ( \sqrt{2}+1)^3} - \sqrt[3]{ (\sqrt{2}-1)^3}=\sqrt{2}+1 -( \sqrt{2}-1)=2}\), czyli rzeczywiście wyrażenie to jest liczbą całkowitą.

Sposób drugi:
Skorzystam tutaj ze wzoru \(\displaystyle{ (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3=a^3-b^3-3ab(a-b)}\)
Oznaczmy sobie \(\displaystyle{ \sqrt[3]{ 5 \sqrt{2} +7} - \sqrt[3]{5 \sqrt{2} -7}=x}\) i podnieśmy do trzeciej potęgi. Mamy więc:
\(\displaystyle{ (\sqrt[3]{ 5 \sqrt{2} +7} - \sqrt[3]{5 \sqrt{2} -7})^3=x^3}\)
\(\displaystyle{ 5 \sqrt{2} +7 -(5 \sqrt{2}-7) -3 \sqrt[3]{ ( 5\sqrt{2}+7)(5 \sqrt{2}-7)} x=x^3}\)
\(\displaystyle{ 14-3 \sqrt[3]{50-49}x=x^3}\)
\(\displaystyle{ x^3+3x-14=0}\)
Zauważmy, że pierwiastkiem tego równania jest x=2. Podzielmy więc \(\displaystyle{ x^3 +3x-14}\) przez \(\displaystyle{ x-2}\) i otrzymamy \(\displaystyle{ (x-2)(x^2+2x+7)=0}\) Czyli \(\displaystyle{ x=2 x^2+2x+7=0}\). W równaniu \(\displaystyle{ x^2+2x+7=0}\) delta jest ujemna ( \(\displaystyle{ \Delta=-24}\)