Matematyka.pl

Ostatnio dorwałem takie jedno w miarę proste zadanie:

Udowodnić, że dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) zachodzi:
\(\displaystyle{ 120|(a^{5}-5a^{3}+4a)}\).
Jak poprzekształca sie to wyrażenie do postaci wielomianu to podzielność przez 3 i 4 jest oczywista. Jak natomiast zrobić podzielność przez 10? Moim jedynym pomysłem do tej pory było sprawdzić podzielność przez 10 dla wszystkich przypadków:
\(\displaystyle{ a=10k}\), \(\displaystyle{ a= 10k+1}\), ... , \(\displaystyle{ a=10k+9}\), ale jest to pracochłonne i, co tu kryć, mocno lamerskie. Aha, jeśli mógłbym poprosić, to byłbym wdzięczny za rozwiązanie nieindukcyjne (indukcją wychodzą nieprzyjemne rachunki). Z góry dziękuję

\(\displaystyle{ a^5 -5a^3 +4a = a(a^6 -5a^2 +4) = a(a^2-1)(a^2-4)=(a-2)(a-1)a(a+1)(a+2)}\)

iloczyn 5 kolejnych liczb dzieli się przez 5, 4, 3, 2 czyli przez 120

rozkladamy wyrazenie:
\(\displaystyle{ n^{5}-5n^{3}+4n=\\
=n(n^{4}-5n^{2}+4)=\\
=n(n^{4}-n^{2}-4n^{2}+4)=\\
=n(n^{2}(n^{2}-1)-4(n^2-1))= \\
=n(n^{2}-4)(n^{2}-1)=\\
=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)}\)
iloczyn n kolejnych liczb naturalnych jest podzielny przez n! czyli mamy iloczyn 5 kolejnych liczby czyli 5!=120 cnd.

Hehe, dzięki chłopaki, to było naprawdę proste. Daję Wam obu pomógł