Matematyka.pl

Cześć.

Mam problem ze ściśle matematycznym dowodem zależności: \(\displaystyle{ n C}\) i \(\displaystyle{ 3|n^2 \ \ 9|n^2}\)

Proszę o pomoc. Próbowałem kombinować z dowodzeniem przez indukcję, ale tutaj nie zachodzi to dla każdego n+1 a dla n+3. Nie wiem, w jaki sposób tego dowieść.

Dziękuję za wszystkie uwagi.

Skoro 3 jest występuje w rozkładzie \(\displaystyle{ n^2}\) na czynniki pierwsze, to występuje w tym rozkładzie parzystą liczbę razy (bo musi też występować w rozkładzie n na czynniki pierwsze, a \(\displaystyle{ n^2=n\cdot n}\). Skoro występuje więc w rozkładzie \(\displaystyle{ n^2}\) co najmniej 2 razy, to \(\displaystyle{ 3\cdot3=9|n^2}\).

jasny pisze:Skoro 3 jest występuje w rozkładzie \(\displaystyle{ n^2}\) na czynniki pierwsze, to występuje w tym rozkładzie parzystą liczbę razy (bo musi też występować w rozkładzie n na czynniki pierwsze, a \(\displaystyle{ n^2=n\cdot n}\). Skoro występuje więc w rozkładzie \(\displaystyle{ n^2}\) co najmniej 2 razy, to \(\displaystyle{ 3\cdot3=9|n^2}\).

A czy to, że występuje parzystą liczbę razy jest spowodowane tym, że 3 jest liczbą pierwszą i nie można jej otrzymać poprzez pomnożenie żadnej z mniejszych od 3 liczb (1,2) przez siebie w celu otrzymania 3?

Jest to spowodowane tym, że jeśli 3 występuje k razy w rozkładzie n, to występuje 2k razy w rozkładzie n^2.

jasny pisze:Jest to spowodowane tym, że jeśli 3 występuje k razy w rozkładzie n, to występuje 2k razy w rozkładzie n^2.

Nie rozumiesz mnie. Moim głównym problemem jest zrozumienie dlaczego w rozkładzie \(\displaystyle{ n^2}\) w ogóle musi wystąpić n. Po prostu chodzi o to, że przy rozkładzie n^2 na czynniki pierwsze podwaja się ich ilość.

można to uogólnić \(\displaystyle{ a,n, C}\), \(\displaystyle{ x N_+}\) i \(\displaystyle{ a|n^x\ \ xa|n^x}\) tak?

nie można, bo np. 4 dzieli \(\displaystyle{ 2^2}\), a 8 nie.

[ Dodano: 3 Październik 2006, 16:34 ]
Po prostu:
\(\displaystyle{ a_1,\,a_2,\,...,a_k}\) - dzielniki pierwsze liczby n
\(\displaystyle{ n=a_1\cdot a_2\cdot ... a_k}\)
\(\displaystyle{ n^2=n\cdot n=a_1^2\cdot a_2^2\cdot ... a_k^2}\)
Zatem jeśli 3 jest dzielnikiem liczby \(\displaystyle{ n^2}\), to 9 też musi nim być (np. \(\displaystyle{ a_1=3}\), a w rozkładzie jest \(\displaystyle{ a_1^2}\), czyli 9).