Udowodnić, że wszystkie romby wpisane w daną elipsę są opisane na tym samym okręgu.Romby w elipsie
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11583
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3167 razy
- Pomógł: 749 razy
-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8596
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3356 razy
Re: Romby w elipsie
Jeżeli \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) będą połowami przekątnych rombu to promień okręgu wpisanego w romb wynosi: \(\displaystyle{ r= \frac{pq}{ \sqrt{p^2+q^2} } }\)
Wierzchołki rombu wpisanego w elipsę będą przecięciami elipsy dwoma prostopadłymi prostymi o miejscu przecięcia w środku symetrii elipsy.
Dla elipsy \(\displaystyle{ (\frac{x}{a})^2+( \frac{y}{b} )^2=1 }\) wierzchołki wpisanego w nią rombu leżą na prostych \(\displaystyle{ y=kx}\) i \(\displaystyle{ y= \frac{-1}{k} x}\), dla \(\displaystyle{ k>0}\).
Prosta \(\displaystyle{ y=kx}\) przecina elipsę w punktach \(\displaystyle{ \left( \frac{ab}{ \sqrt{a^2k^2+b^2} } , \frac{kab}{ \sqrt{a^2k^2+b^2} } \right) }\) i \(\displaystyle{ \left( \frac{-ab}{ \sqrt{a^2k^2+b^2} } , \frac{-kab}{ \sqrt{a^2k^2+b^2} } \right) }\) więc \(\displaystyle{ p= \frac{ab \sqrt{1+k^2} }{ \sqrt{a^2k^2+b^2} } }\)
Prosta \(\displaystyle{ y= \frac{-1}{k} x}\) przecina elipsę w punktach \(\displaystyle{ \left( \frac{kab}{ \sqrt{a^2+b^2k^2} } , \frac{-ab}{ \sqrt{a^2+b^2k^2} } \right) }\) i \(\displaystyle{ \left( \frac{-kab}{ \sqrt{a^2+b^2k^2} } , \frac{ab}{ \sqrt{a^2+b^2k^2} } \right) }\) więc \(\displaystyle{ q= \frac{ab \sqrt{1+k^2} }{ \sqrt{a^2+b^2k^2} } }\)
Promień okręgu wpisanego w romb:
\(\displaystyle{ r= \frac{pq}{ \sqrt{p^2+q^2} } = \frac{\frac{ab \sqrt{1+k^2} }{ \sqrt{a^2k^2+b^2} } \frac{ab \sqrt{1+k^2} }{ \sqrt{a^2+b^2k^2} } }{ \sqrt{\frac{a^2b^2 (1+k^2) }{ a^2k^2+b^2 } +\frac{a^2b^2(1+k^2) }{ a^2+b^2k^2 } } } = \frac{ab}{ \sqrt{a^2+b^2} } }\)
Jak widać ten promień zależy jedynie od elipsy, a wartość parametru k nie ma znaczenia.
Jedyny nieuwzględniony powyżej romb to taki, którego wierzchołki są przecięciami elipsy z jej osiami symetrii. Jednak wtedy \(\displaystyle{ p=a}\) i \(\displaystyle{ q=b}\) więc i tu \(\displaystyle{ r=\frac{ab}{ \sqrt{a^2+b^2} }}\)
Wierzchołki rombu wpisanego w elipsę będą przecięciami elipsy dwoma prostopadłymi prostymi o miejscu przecięcia w środku symetrii elipsy.
Dla elipsy \(\displaystyle{ (\frac{x}{a})^2+( \frac{y}{b} )^2=1 }\) wierzchołki wpisanego w nią rombu leżą na prostych \(\displaystyle{ y=kx}\) i \(\displaystyle{ y= \frac{-1}{k} x}\), dla \(\displaystyle{ k>0}\).
Prosta \(\displaystyle{ y=kx}\) przecina elipsę w punktach \(\displaystyle{ \left( \frac{ab}{ \sqrt{a^2k^2+b^2} } , \frac{kab}{ \sqrt{a^2k^2+b^2} } \right) }\) i \(\displaystyle{ \left( \frac{-ab}{ \sqrt{a^2k^2+b^2} } , \frac{-kab}{ \sqrt{a^2k^2+b^2} } \right) }\) więc \(\displaystyle{ p= \frac{ab \sqrt{1+k^2} }{ \sqrt{a^2k^2+b^2} } }\)
Prosta \(\displaystyle{ y= \frac{-1}{k} x}\) przecina elipsę w punktach \(\displaystyle{ \left( \frac{kab}{ \sqrt{a^2+b^2k^2} } , \frac{-ab}{ \sqrt{a^2+b^2k^2} } \right) }\) i \(\displaystyle{ \left( \frac{-kab}{ \sqrt{a^2+b^2k^2} } , \frac{ab}{ \sqrt{a^2+b^2k^2} } \right) }\) więc \(\displaystyle{ q= \frac{ab \sqrt{1+k^2} }{ \sqrt{a^2+b^2k^2} } }\)
Promień okręgu wpisanego w romb:
\(\displaystyle{ r= \frac{pq}{ \sqrt{p^2+q^2} } = \frac{\frac{ab \sqrt{1+k^2} }{ \sqrt{a^2k^2+b^2} } \frac{ab \sqrt{1+k^2} }{ \sqrt{a^2+b^2k^2} } }{ \sqrt{\frac{a^2b^2 (1+k^2) }{ a^2k^2+b^2 } +\frac{a^2b^2(1+k^2) }{ a^2+b^2k^2 } } } = \frac{ab}{ \sqrt{a^2+b^2} } }\)
Jak widać ten promień zależy jedynie od elipsy, a wartość parametru k nie ma znaczenia.
Jedyny nieuwzględniony powyżej romb to taki, którego wierzchołki są przecięciami elipsy z jej osiami symetrii. Jednak wtedy \(\displaystyle{ p=a}\) i \(\displaystyle{ q=b}\) więc i tu \(\displaystyle{ r=\frac{ab}{ \sqrt{a^2+b^2} }}\)