Matematyka.pl

Punkt półkratowy to taki, którego obie współrzędne są liczbami wymiernymi. Udowodnić, że jeśli na okręgu są trzy punkty półkratowe, to jest ich na nim nieskończenie wiele takich punktów.

Jeżeli na okręgu są trzy punkty o współrzędnych wymiernych załóżmy: \(\displaystyle{ A,B,C}\) to równania prostych:

\(\displaystyle{ AB, BC}\) da się wyrazić poprzez współczynniki wymierne: typu:

(*) \(\displaystyle{ ax+by+c=0, a,b,c \in W}\) , środki odcinków: \(\displaystyle{ AB, BC :S_{1}, S_{2}}\) też się wyrażają współrzędnymi wymiernymi.

Mało tego: proste prostopadłe do: \(\displaystyle{ AB, BC}\), przechodzące przez: \(\displaystyle{ S_{1}, S_{2}}\) też ich współczynniki dają się wyrazić

liczbami wymiernymi, patrz: (*)

W związku z tym punkt wspólny tych prostych który jest środkiem tegoż okręgu ma współrzędne wymierne...

Kwadrat promienia jak łatwo zauważyć jest liczbą zawsze wymierną

Więc istnieje pełny izomorfizm między danym okręgiem a.: \(\displaystyle{ O\left[ (0,0);1\right] }\)

Przesuwamy okrąg nasz do środka układu współrzędnych współrzędnych, wektor przesunięcia też ma współrzędne wymierne...

A okrąg ten ma nieskończenie wiele punktów o obu współrzędnych wymiernych, wynika to choćby z Tw. Pitagorasa w wersji diofantycznej:

\(\displaystyle{ m^2+n^2=k^2/:k^2}\)

\(\displaystyle{ \left( \frac{m}{k} \right)^2 + \left( \frac{n}{k} \right)^2 =1}\)

cnd...

Interesuje mnie tylko czy te punkty półkratowe na okręgu tworzą grupę może ktoś wie???

Dodam jeszcze, że skoro punkty półkratowe to takie, które mają obie współrzędne wymierne, to punkty ćwierćkratowe to takie, które mają tylko jedną współrzędną wymierną , a punkty niekratowe to takie, które obie współrzędne mają niewymierne...