Matematyka.pl

Oznaczmy nasze punkty przez \(\displaystyle{ X=\{x_1,\ldots, x_n\}}\) i niech \(\displaystyle{ s}\) będzie środkiem \(\displaystyle{ K}\), a \(\displaystyle{ R}\) jego promieniem.
Krok 1. Istnieje co najmniej jeden punkt \(\displaystyle{ a}\) wśród \(\displaystyle{ x_1,\ldots, x_n}\) na okręgu koła \(\displaystyle{ K}\). Wynika to natychmiast z założenia, że nie istnieje koło o promieniu mniejszym.
Krok 2. Istnieje różny od \(\displaystyle{ a}\) punkt \(\displaystyle{ b}\) wśród \(\displaystyle{ x_1,\ldots, x_n}\) na okręgu koła \(\displaystyle{ K}\).
Definiujemy rodzinę okręgów \(\displaystyle{ S_t}\) parametryzowaną indeksami \(\displaystyle{ t\in[0,R)}\), gdzie \(\displaystyle{ S_t}\) ma środek w punkcie \(\displaystyle{ s_t=\frac tR a+(1-\frac tR)s}\) i promień \(\displaystyle{ R_t=R-t>0}\).
Definiujemy funkcję ciągłą \(\displaystyle{ f\colon [0,R)\rightarrow \mathbb R}\) wzorem \(\displaystyle{ f(t)=\max\{d(x,s_t)-R_t\colon x\in X\setminus\{a\}\}}\). Ponieważ dla \(\displaystyle{ t>0}\) okręgi \(\displaystyle{ S_t}\) mają promienie mniejsze niż \(\displaystyle{ R}\), więc \(\displaystyle{ f(t)>0}\) dla \(\displaystyle{ t>0}\). Gdyby wszystkie punkty \(\displaystyle{ X\setminus\{a\}}\) leżały wewnątrz \(\displaystyle{ K}\), to byłoby \(\displaystyle{ f(0)<0}\), co przeczyłoby ciągłości \(\displaystyle{ f}\).
Krok 3. Dowód tezy. Weźmy dla punkty \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) na okręgu koła \(\displaystyle{ K}\) i załóżmy, że nie leżą one na średnicy. Pokażemy, że istnieje trzeci punkt w \(\displaystyle{ X\setminus\{a,b\}}\) na okręgu koła \(\displaystyle{ K}\). Niech \(\displaystyle{ \alpha}\) będzie kątem ostrym wpisanym opartym na cięciwie \(\displaystyle{ ab}\). Definiujemy znów rodzinę okręgów \(\displaystyle{ S_\beta}\) parametryzowaną indeksami \(\displaystyle{ \beta \in [\alpha,\frac\pi2]}\), gdzie \(\displaystyle{ S_\beta}\) jest takim okręgiem przechodzącym przez punkty \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\), że kąt ostry wpisany oparty na cięciwie \(\displaystyle{ ab}\) ma miarę \(\displaystyle{ \beta}\) i leży po odpowiedniej stronie prostej \(\displaystyle{ ab}\) (tej samej co kąt \(\displaystyle{ \alpha}\)). Wtedy \(\displaystyle{ S_0}\) jest okręgiem koła \(\displaystyle{ K}\), a każdy z okręgów \(\displaystyle{ S_\beta}\) dla \(\displaystyle{ \beta>\alpha}\) ma środek \(\displaystyle{ s_\beta}\) i promień \(\displaystyle{ R_\beta<R}\). Funkcja \(\displaystyle{ F\colon [\alpha,\frac\pi2] \rightarrow \mathbb R}\) o wzorze \(\displaystyle{ F(\beta)=\max\{d(x,s_\beta)-R_\beta\colon x\in X\setminus\{a,b\}\}}\) jest ciągła i \(\displaystyle{ F(\beta)>0}\) dla \(\displaystyle{ \beta>\alpha}\).