Matematyka.pl

Umieszczamy kwadrat \(ABCD\) w kartezjańskim układzie współrzędnych: \(A=(0,0),B=(1,0),C=(1,1),D=(0,1)\). Wierzchołki \(P,Q,R,S\) czworokąta leżą odpowiednio na bokach \(AB,BC,CD,DA\), tzn. \(P=(p,0),Q=(1,q),R=(r,1),S=(0,s)\), gdzie \(0\le p,q,r,s\le 1\). Obwód czworokąta \(PQRS\) wyraża się przez \[L=\sqrt{(1-p)^2+q^2}+\sqrt{(1-r)^2+(1-q)^2}+\sqrt{r^2+(1-s)^2}+\sqrt{p^2+s^2}.\] Z nierówności Minkowskiego \[L\ge\sqrt{(1-p+1-r+r+p)^2+(q+1-q+1-s+s)^2}=2\sqrt{2}\] z równością np. dla \(P=\left(\frac{1}{2},0\right),Q=\left(1,\frac{1}{2}\right),R=\left(\frac{1}{2},1\right),S=\left(0,\frac{1}{2}\right)\).
Dla nieujemnych liczb \(x,y\) zachodzi \(\sqrt{x^2+y^2}\le x+y\), więc \[L\le (1-p)+q+(1-r)+(1-q)+r+(1-s)+p+s=4\] z równością np. dla \(P=(0,0),Q=(1,0),R=(1,1),S=(0,1)\).