Matematyka.pl

Udowodnić, że \(\displaystyle{ e^2+f^2 \ge 4F}\) , gdzie \(\displaystyle{ e}\) i \(\displaystyle{ f}\) to długości przekątnych czworokąta, zaś \(\displaystyle{ F}\) to jego pole.

Będę oznaczał tym samym symbolem obiekt geometryczny i jego długość.
Niech `e` będzie taką przekątną, że pozostałe wierzchołki leżą po jej przeciwnych stronach, a `g,h` będą odległościami tychże wierzchołków od `e` . Wtedy `g+h\le f`, bo `g+h` jest długością rzutu `f` na prostą prostopadłą do `e`.
Zatem
`4F=2e(g+h)\le 2ef\le e^2+f^2`.
Równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy `f` jest prostopadłe do `e` (pierwsza nierówność) i `e=f` (druga nierówność).