Matematyka.pl

Mamy wielomian \(\displaystyle{ P(x)}\) spełniający:
\(\displaystyle{
xP(x+1)+14063=(x+2009)P(x) \wedge P(-2009)=0
}\)
Wyznacz \(\displaystyle{ P(4) }\).

Dla \(\displaystyle{ x=-2009}\) mam
\(\displaystyle{ -2009 P(-2008)=0 \cdot 0 \\
P(-2008)=... }\)
Dla \(\displaystyle{ x=-2008}\) mam
\(\displaystyle{ -2008 P(-2007)=1 \cdot P(-2008) \\
P(-2007)=... }\)
Dla \(\displaystyle{ x=-2007}\) mam
\(\displaystyle{ -2007 P(-2006)=2 \cdot P(-2007) \\
P(-2006)=... }\)

To olimpiada z informatyki i należy napisać pętlę która w okolicy 2012 iteracji wyliczy P(4)?

Zadanie pochodzi z konkursu Jagiellonski Turniej Matematyczny V. Sam nie mogę znaleźć rozwiązania, zastanawiam się w ogóle czy może istnieć wielomian spełniający te założenia, a rozwiązań zadań z tego konkursu nigdzie nie ma (przynajmniej nie mogę znaleźć). Gdyby zignorować warunek \(\displaystyle{ W(-2009)=0 }\) to \(\displaystyle{ W(x)=7 }\) spełniałby równanie. Ogólnie jeśli dobrze pamiętam, to wystarczyłoby wyznaczyć jakąkolwiek wartość wielomianu dla \(\displaystyle{ x>0 }\) i zadanie by iteracyjnie poszło, bo iterując po ujemnych dochodzimy do \(\displaystyle{ P(0)=7 }\) i dalej nic sensownego nie uzyskamy.

To już w tym wątku było: cytowanie nie działa.

A kerajs zapomniał o `14063`

Sam nie mogę znaleźć rozwiązania

nie bardzo cie rozumiem wszak podałeś rozwiązanie \(\displaystyle{ 7}\)

Jeżeli chodzi o wyznaczenie wielomianu lub może funkcji lub nawet ciągu spełniającego to równanie, można za pomocą np podmiany dziedziny zapisać to ta

\(\displaystyle{ na_{n+1}+14063=(n+2009)a_{n} }\)

\(\displaystyle{ a_{0}=a}\)

po obłożeniu \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } x^n}\)

i po wykonaniu kilku trików otrzymamy dość niemiłe równanie różniczkowe

\(\displaystyle{ (x^3-2x^2+x)y'+(2009x^2-2008x-1)y+14063x-ax+a=0}\)

Jakby ktoś niechcacy go rozwiązał to otrzymana funkcja po rozwinięciu w szereg dałaby wtedy szukany wielomian jakbyśmy

wrócili do pierwotnej dziedziny...