Matematyka.pl

1. Obliczyć największą wartość momentu \(\displaystyle{ M}\), jakim możemy obciążyć poniższy wał, wykonany ze stali ST 3 (\(\displaystyle{ G = 8,5 \times 104\, MPa}\)). Średnica wału \(\displaystyle{ d = 40\, mm}\), naprężenia dopuszczalne na skręcanie \(\displaystyle{ k_s=70\, MPa}\), a długość \(\displaystyle{ a = 300\, mm.}\) Obliczyć także całkowity kąt skręcenia wału.
2. Układ prętowy jest obciążony siłą \(\displaystyle{ P=1800\, N}\). Obliczyć ile wynoszą naprężenia i wydłużenia obu prętów, kiedy ich średnice wynoszą \(\displaystyle{ d = 20\,mm}\) i są wykonane ze stali o \(\displaystyle{ E = 2,1 \times 105\, MPa}\).
3. Sprawdź warunek wytrzymałościowy przy skręcaniu wału o przekroju okrągłym o średnicy \(\displaystyle{ d =20\, mm}\), gdy moment skręcający \(\displaystyle{ M_s}\) wynosi \(\displaystyle{ 180\,Nm}\) oraz \(\displaystyle{ k_s= 75\, MPa}\). Następnie oblicz kąt skręcenia tego wału, wiedząc, że jego długość wynosi \(\displaystyle{ l = 1\, m}\) a moduł odkształcenia postaciowego \(\displaystyle{ G = 8,5 \times 104\, MPa}\).
4. Pręt stalowy o średnicy \(\displaystyle{ d = 6\, mm}\) i długości \(\displaystyle{ l = 2\, m}\) jest rozciągany siłą \(\displaystyle{ P = 1600\, N}\). Obliczyć naprężenia oraz wydłużenie całkowite pręta. Moduł Younga dla stali wynosi \(\displaystyle{ 2,1 \times 105\, MPa}\). Następnie sprawdź jak zmienią się naprężenia i wydłużenie gdy średnice zwiększymy i zmniejszymy dwukrotnie w stosunku do średnicy nominalnej.

Zadanie 1

Dane:
\(\displaystyle{ G = 8,5 \cdot 10^{4} MPa = 8,5\cdot 10^{10} Pa. }\)
\(\displaystyle{ d = 40 mm = 0,04 m. }\)
\(\displaystyle{ k_{s} = 70 MPa = 7\cdot 10^{7} Pa.}\)
\(\displaystyle{ a = 300 mm = 0,3 m.}\)

Obliczyć:
\(\displaystyle{ M_{s}.}\)
\(\displaystyle{ \phi.}\)

Rozwiązanie

\(\displaystyle{ M_{s} = \frac{k_{s} \cdot J_{0}}{\frac{d}{2}} = \frac{2k_{s}\cdot J_{0}}{d}.}\)

\(\displaystyle{ J_{0} = W_{0}\cdot \frac{d}{2}.}\)

\(\displaystyle{ W_{0} = \frac{\pi \cdot d^3}{16}. }\)

\(\displaystyle{ \phi = \frac{M_{s}\cdot a}{G\cdot J_{0}}. }\)

Proszę poprawić zapis zadań w edytorze \(\displaystyle{ \LaTeX. }\)

Samouczek znajduje się na stronie Forum latex.htm

Dodano po 21 godzinach 39 minutach 38 sekundach:
Zadanie 2

Dane:
\(\displaystyle{ P =1800 N.}\)
\(\displaystyle{ d = 20 mm = 0,02 m.}\)
\(\displaystyle{ E = 2,1\cdot 105 \cdot 10^6 Pa = 2,205\cdot 10^{8} Pa. }\)
\(\displaystyle{ l = ?}\)

Obliczyć:
\(\displaystyle{ \sigma. }\)
\(\displaystyle{ \Delta l. }\)

Rozwiązanie
\(\displaystyle{ \sigma = \frac{P}{F}= \frac{P}{\frac{\pi d^2}{4}} = \frac{4P}{\pi d^2}.}\)
\(\displaystyle{ \Delta l = \frac{P\cdot l}{E\cdot F} = \frac{4P\cdot l}{E\cdot \pi d^2}.}\)

A zadanie 3 rozwiążesz?

Rozwiązanie:
Rozciąganie pręta
Dodano po 4 godzinach 53 minutach 59 sekundach:
Zadanie 3

Dane:

\(\displaystyle{ d = 20 mm = 0,02 m. }\)

\(\displaystyle{ M_{s} = 180 Nm. }\)

\(\displaystyle{ k_{s} = 75 MPa = 75\cdot 10^6 Pa. }\)

\(\displaystyle{ l = 1m. }\)

\(\displaystyle{ G = 8,5 \times 104 MPa = 8,5 \times 104\cdot 10^6 Pa.}\)

Obliczyć:

\(\displaystyle{ W_{0}, \ \ \tau_{max}, \ \ \phi. }\)

Rozwiązanie

\(\displaystyle{ W_{0} = \frac{\pi d^2}{16}.}\)

Warunek wytrzymałościowy na skręcanie:

\(\displaystyle{ \tau_{max} = \frac{M_{s}}{W_{0}} \leq k_{s}.}\)

\(\displaystyle{ \phi = \frac{M_{s}\cdot l}{G\cdot J_{0}}. }\)

\(\displaystyle{ J_{0} = \frac{\pi d^2}{32}. }\)

Dodano po 11 godzinach 9 minutach 14 sekundach:
Oprócz powyższego warunku wytrzymałościowego, każdy pręt musi spełniać warunek sztywności, polegający na tym, że określony wyżej wymienionym wzorem kąt skręcenia przypadający na jednostkę długości pręta nie może być większy od dopuszczalnego kąta skręcenia pręta

\(\displaystyle{ \frac{M_{s} l}{GJ{0}}\leq \phi_{dop} }\)

Dopuszczalny kąt skręcenia \(\displaystyle{ \phi_{dop} }\) przyjmuje się zazwyczaj równy \(\displaystyle{ \frac{1}{4} }\) stopnia na metr długości pręta \(\displaystyle{ \phi_{dop} = \frac{1}{4}\frac{\pi}{180} = 0,00436\frac{rad}{m} }\)