Matematyka.pl

Na jakiej wysokości od podłogi należy przestrzelić owalną beczkę, aby ciecz wylewała się przez powstały otwór możliwie jak najdalej

Określamy funkcję zasięgu ruchu ukośnego cieczy i wyznaczamy jej maksimum lokalne.

\(\displaystyle{ x(t) = v_{0}\cdot t \ \ (1) }\)

Prędkość początkową cieczy wyznaczamy z równania Torricellego:

\(\displaystyle{ v_{0} = \sqrt{2g\cdot h} \ \ (2) }\)

zaś czas jej wypływu z równania:

\(\displaystyle{ y = H - h = \frac{gt^2}{2} }\)

\(\displaystyle{ t = \sqrt{\frac{2(H-h)}{g}} \ \ (3)}\)

Na podstawie równań \(\displaystyle{ (1), (2), (3)}\)

\(\displaystyle{ x(h) = \sqrt{2g\cdot h}\cdot \sqrt{\frac{2(H-h)}{g}} = 2\sqrt{h(H-h)}}\)

Badamy maksimum lokalne funkcji kwadratu odległości:

\(\displaystyle{ f(h) = x^2(h) = 4h(H-h) = -4h^2+4Hh = -4h(h - H) \ \ (4) }\)

Współrzędne wierzchołka wykresu paraboli \(\displaystyle{ (4) }\)

\(\displaystyle{ ( x*, y*) = \left(\frac{H}{2}, H^2\right )}\)

Należy umieścić na wysokości \(\displaystyle{ \frac{H}{2} }\) otwór w beczce, aby strumień cieczy wypływał w jak największej odległości od jej podstawy.

Aby ciecz wylewała się jak najdalej, otwór najlepiej zrobić na wysokości mniej więcej połowy wysokości beczki od podłogi, bo wtedy ciśnienie hydrostatyczne jest spore, a jednocześnie ciecz wypływa z odpowiednią prędkością i kątem. Zbyt nisko otwór da większe ciśnienie, ale ciecz spadnie szybciej na ziemię, a zbyt wysoko – ciśnienie będzie za małe, więc zasięg mniejszy. W praktyce warto też uwzględnić kształt beczki i warunki otoczenia, ale zasada optymalnej wysokości to około połowa wysokości cieczy.