Matematyka.pl

Sprawdź czy formuła jest tautologią:
\(\displaystyle{ \forall x:f(x) \wedge \forall x:g(x) \Leftrightarrow \forall x: (f(x) \wedge g(x))}\).

Tutaj myślę, że jest to tautologia o ile bierzemy te \(\displaystyle{ x}\)-y z tego samego zbioru. Ale jak to udowodnić?
Jeśli dla wszystkich \(\displaystyle{ x}\) z pewnego zbioru \(\displaystyle{ X}\) zachodzi \(\displaystyle{ f(x)}\) i dla wszystkich \(\displaystyle{ x}\) z tego samego zbioru \(\displaystyle{ X}\) zachodzi \(\displaystyle{ g(x)}\), no to chyba jasne jest, że dla wszystkich \(\displaystyle{ x}\) ze zbioru \(\displaystyle{ X}\) zachodzi i \(\displaystyle{ f(x)}\) i \(\displaystyle{ g(x)}\). No i w drugą stronę analogicznie, jeśli dla wszystkich \(\displaystyle{ x \in X}\) zachodzi jednocześnie \(\displaystyle{ f(x)}\) i \(\displaystyle{ g(x)}\), no to znaczy, że dla wszystkich \(\displaystyle{ x\in X}\) zachodzi \(\displaystyle{ f(x)}\) i dla wszystkich \(\displaystyle{ x\in X}\) zachodzi \(\displaystyle{ g(x)}\). Czy to o to chodzi?

Tak.

JK