Matematyka.pl

Dzień dobry, rozwiązuje zadań z poprzednich lat, ale nie mam odpowiedzi. Prosiłbym więc o sprawdzenie moich typów.

1. Które z wymienionych wartościowań spełnia formułę zdaniową \(\displaystyle{ ((p \rightarrow (q \rightarrow r)) \vee (r \rightarrow (q \rightarrow p)))}\)?
a) \(\displaystyle{ v(r)=1, v(p)=0, v(q)=1}\)
b) \(\displaystyle{ v(p)=1}\) i dowolne wartości dla pozostałych zmiennych.
c) \(\displaystyle{ v(r)=0}\) i \(\displaystyle{ v(p)=1, v(q)=1}\)
d) \(\displaystyle{ v(r)=1, v(p)=(q)=0}\)

Zaznaczyłem odpowiedź B.

2. Wskaż zdania prawdziwe.
a) \(\displaystyle{ 2^{5}}\) jest liczbą parzystą wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ 5^{2}}\) jest liczbą parzystą.
b) Jeśli \(\displaystyle{ |-5|<0}\), to \(\displaystyle{ 5}\) jest liczbą pierwszą.
c) Jeśli istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych, to \(\displaystyle{ 2}\) jest liczbą pierwszą.
d) Pierwiastek kwadratowy z liczby \(\displaystyle{ 36}\) jest liczbą niewymierną lub \(\displaystyle{ 36}\) jest liczbą niewymierną.

Zaznaczyłem odpowiedzi B oraz D.

3. Które z podanych wnioskowań nie jest poprawne?
a) Jeżeli z tego, że zbiór \(\displaystyle{ X}\) jest uporządkowany wynika, że ma element maksymalny, to z tego że zbiór \(\displaystyle{ X}\) nie posiada elementu maksymalnego wynika, że nie jest on uporządkowany.
b) Jeżeli z tego że funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest różnowartościowa wynika, że jest odwzorowaniem "na', to z tego, że \(\displaystyle{ f}\) nie jest funkcją różnowartościową wynika, że nie jest odwzorowaniem "na”.
c) Jeżeli liczba naturalna \(\displaystyle{ x}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 3}\), to jeżeli \(\displaystyle{ x}\) nie dzieli się przez \(\displaystyle{ 3}\), to dzieli się przez \(\displaystyle{ 5}\).
d) Jeżeli relacja jest przechodnia, to z tego że jest zwrotna, wynika że jest przechodnia i zwrotna.

Zaznaczyłem A oraz C.

4. Która z wymienionych formuł jest spełniona przez następujące wartościowanie zmiennych \(\displaystyle{ v(p)=1,v(q)=0, v(r)=1}\)?
a) \(\displaystyle{ \neg ((p \vee q) \rightarrow r)}\)
b) \(\displaystyle{ \neg (p \rightarrow (q \vee \neg r)) }\)
c) \(\displaystyle{ (p \rightarrow q) \rightarrow ((q \rightarrow r) \rightarrow (p \rightarrow r))}\)
d) \(\displaystyle{ \neg (r \rightarrow (p \vee q)) }\)

Tutaj po rozpisaniu żadna odpowiedź nie wydaje się poprawna, a jednak któraś być powinna.

5. Który z podanych schematów (przesłanki | wniosek) jest poprawną regułą wnioskowania w rachunku zdań?
a) \(\displaystyle{ (p \rightarrow (q + r)) | (-p \rightarrow (-q * -r))}\)
b) \(\displaystyle{ p |(p+q)}\)
c) \(\displaystyle{ (p + q) | (p * q) }\)
d) \(\displaystyle{ (p * q) | (-p + -q)}\)

Tego zadania, mimo szczerych chęci, nie rozumiem. edit: Już wiem. Chyba A oraz B.

colma pisze: ↑23 lis 2019, o 17:271. Które z wymienionych wartościowań spełnia formułę zdaniową \(\displaystyle{ ((p \rightarrow (q \rightarrow r)) \vee (r \rightarrow (q \rightarrow p)))}\)?
a) \(\displaystyle{ v(r)=1, v(p)=0, v(q)=1}\)
b) \(\displaystyle{ v(p)=1}\) i dowolne wartości dla pozostałych zmiennych.
c) \(\displaystyle{ v(r)=0}\) i \(\displaystyle{ v(p)=1, v(q)=1}\)
d) \(\displaystyle{ v(r)=1, v(p)=(q)=0}\)

Zaznaczyłem odpowiedź B.

Jeżeli przez "spełnia" rozumiesz, że dane wartościowanie wartościuje zadaną formułę na \(\displaystyle{ 1}\), to wszystkie odpowiedzi są poprawne. A może źle przepisałeś formułę? Gdyby chodziło o \(\displaystyle{ ((p \rightarrow (q \rightarrow r)) \,\red{\land}\, (r \rightarrow (q \rightarrow p)))}\), to poprawna byłaby tylko odpowiedź D.

colma pisze: ↑23 lis 2019, o 17:272. Wskaż zdania prawdziwe.
a) \(\displaystyle{ 2^{5}}\) jest liczbą parzystą wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ 5^{2}}\) jest liczbą parzystą.
b) Jeśli \(\displaystyle{ |-5|<0}\), to \(\displaystyle{ 5}\) jest liczbą pierwszą.
c) Jeśli istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych, to \(\displaystyle{ 2}\) jest liczbą pierwszą.
d) Pierwiastek kwadratowy z liczby \(\displaystyle{ 36}\) jest liczbą niewymierną lub \(\displaystyle{ 36}\) jest liczbą niewymierną.

Zaznaczyłem odpowiedzi B oraz D.

Źle. Powinno być B i C.

colma pisze: ↑23 lis 2019, o 17:273. Które z podanych wnioskowań nie jest poprawne?
a) Jeżeli z tego, że zbiór \(\displaystyle{ X}\) jest uporządkowany wynika, że ma element maksymalny, to z tego że zbiór \(\displaystyle{ X}\) nie posiada elementu maksymalnego wynika, że nie jest on uporządkowany.
b) Jeżeli z tego że funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest różnowartościowa wynika, że jest odwzorowaniem "na', to z tego, że \(\displaystyle{ f}\) nie jest funkcją różnowartościową wynika, że nie jest odwzorowaniem "na”.
c) Jeżeli liczba naturalna \(\displaystyle{ x}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 3}\), to jeżeli \(\displaystyle{ x}\) nie dzieli się przez \(\displaystyle{ 3}\), to dzieli się przez \(\displaystyle{ 5}\).
d) Jeżeli relacja jest przechodnia, to z tego że jest zwrotna, wynika że jest przechodnia i zwrotna.

Zaznaczyłem A oraz C.

A powinieneś zaznaczyć wyłącznie B.

colma pisze: ↑23 lis 2019, o 17:274. Która z wymienionych formuł jest spełniona przez następujące wartościowanie zmiennych \(\displaystyle{ v(p)=1,v(q)=0, v(r)=1}\)?
a) \(\displaystyle{ \neg ((p \vee q) \rightarrow r)}\)
b) \(\displaystyle{ \neg (p \rightarrow (q \vee \neg r)) }\)
c) \(\displaystyle{ (p \rightarrow q) \rightarrow ((q \rightarrow r) \rightarrow (p \rightarrow r))}\)
d) \(\displaystyle{ \neg (r \rightarrow (p \vee q)) }\)

Tutaj po rozpisaniu żadna odpowiedź nie wydaje się poprawna, a jednak któraś być powinna.

Poprawne są B i C.

colma pisze: ↑23 lis 2019, o 17:275. Który z podanych schematów (przesłanki | wniosek) jest poprawną regułą wnioskowania w rachunku zdań?
a) \(\displaystyle{ (p \rightarrow (q + r)) | (-p \rightarrow (-q * -r))}\)
b) \(\displaystyle{ p |(p+q)}\)
c) \(\displaystyle{ (p + q) | (p * q) }\)
d) \(\displaystyle{ (p * q) | (-p + -q)}\)

Tego zadania, mimo szczerych chęci, nie rozumiem.

To zadanie wygląda podejrzanie, bo dość bezsensownie. Podejrzewam złe przepisanie. Jakie jest znaczenie symboli \(\displaystyle{ +,*,-,|}\) ?

JK

Dziękuję, zrozumiałem już wszystkie błędy. Część wynikała z niezrozumienia pojęcia spełniania, a część po prostu z nieuwagi:)

To zadanie wygląda podejrzanie, bo dość bezsensownie. Podejrzewam złe przepisanie. Jakie jest znaczenie symboli \(\displaystyle{ +,*,-,|}\) ?

Operatory +, *, - odnoszą się odpowiednio do alternatywy, koniunkcji oraz negacji. Taka notacja jest czasem stosowana w informatyce, ale nie przyszło mi do głowy, żeby pozamieniać na operatory matematyczne, przepraszam.
Wydaje mi się jednak, że intuicyjnie i to zadanie zrozumiałem. Sprawdza ono regułę wnioskowania. Po obu stronach znaku | musi być więc prawda. Zatem np. w przykładzie (B) jeśli po lewej jest samo \(\displaystyle{ p}\), to lewa strona jest prawdziwa. Po prawej stronie mamy alternatywę \(\displaystyle{ p \vee q}\), a więc wiedząc, że \(\displaystyle{ p}\) jest prawdziwe, to również i ta alternatywa będzie prawdziwa. Zatem po lewej i po prawej stronie znaku mamy prawdę - odpowiedź jest prawidłowa. Odpowiedzi C, D, A są nie poprawne, ponieważ:

(D): \(\displaystyle{ (p \wedge q)}\) wymaga, żeby \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) były prawdą. Ale wtedy alternatywa zaprzeczenia prawd zwraca fałsz, dlatego odpowiedź jest niepoprawna.
(C): \(\displaystyle{ (p \vee q)}\) jest alternatywą, czyli albo \(\displaystyle{ p}\) albo \(\displaystyle{ q}\) jest prawdą. Nie gwarantuje to jednak, że koniunkcja (po prawej stronie znaku) również da prawdę.

Nie wiem, czy to poprawne rozwiązanie, ale według mnie miałoby sens.

Zatem chodzi o

5. Który z podanych schematów (przesłanki | wniosek) jest poprawną regułą wnioskowania w rachunku zdań?
a) \(\displaystyle{ (p \rightarrow (q \lor r)) | (\neg p \rightarrow (\neg q \land \neg r))}\)
b) \(\displaystyle{ p |(p\lor q)}\)
c) \(\displaystyle{ (p \lor q) | (p \land q) }\)
d) \(\displaystyle{ (p \land q) | (\neg p \lor \neg q)}\)

colma pisze: ↑23 lis 2019, o 18:34Sprawdza ono regułę wnioskowania. Po obu stronach znaku | musi być więc prawda.

Niezupełnie. Chodzi o to (zakładając, że patrzymy na kwestię semantycznie), że dla każdego wartościowania, które wartościuje lewą stronę na prawdę, także prawa strona jest wartościowana na prawdę.

colma pisze: ↑23 lis 2019, o 18:34 Zatem np. w przykładzie (B) jeśli po lewej jest samo \(\displaystyle{ p}\), to lewa strona jest prawdziwa. Po prawej stronie mamy alternatywę \(\displaystyle{ p \vee q}\), a więc wiedząc, że \(\displaystyle{ p}\) jest prawdziwe, to również i ta alternatywa będzie prawdziwa. Zatem po lewej i po prawej stronie znaku mamy prawdę - odpowiedź jest prawidłowa. Odpowiedzi C, D, A są nie poprawne, ponieważ:

(D): \(\displaystyle{ (p \wedge q)}\) wymaga, żeby \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) były prawdą. Ale wtedy alternatywa zaprzeczenia prawd zwraca fałsz, dlatego odpowiedź jest niepoprawna.
(C): \(\displaystyle{ (p \vee q)}\) jest alternatywą, czyli albo \(\displaystyle{ p}\) albo \(\displaystyle{ q}\) jest prawdą. Nie gwarantuje to jednak, że koniunkcja (po prawej stronie znaku) również da prawdę.

Nie wiem, czy to poprawne rozwiązanie, ale według mnie miałoby sens.

To jest dobry trop i dobre odpowiedzi, choć formalne uzasadnienie wygląda trochę inaczej (tym bardziej, że w A nic nie uzasadniłeś) i odwołuje się do wartościowań.

JK