Matematyka.pl

Dzień dobry

Z tego co się orientuję, to matematyka nie zajmuje się problemem prawdy. Tym niemniej używa tego pojęcia. Musi zatem korzystać z tych koncepcji prawdy, które są do dyspozycji. W przeciwnym wypadku mielibyśmy do czynienia z obecnością kompletnie niezrozumiałego symbolu w zapisie. Jedną z nich jest tak zwana korespondencyjna teoria prawdy, zgodnie z którą zdanie 'kot siedzi w łazience' jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy gdy kot faktycznie siedzi w łazience. Gdy mowa o implikacji \(\displaystyle{ 0 \Rightarrow 0}\), to ja to rozumiem w ten sposób, że oba zera są wpisane wskutek stwierdzenia braku jakiejś korespondencji. Np: Niech \(\displaystyle{ x \in \RR, x^2<0 \Rightarrow x^4<0 }\).
Zarówno następnik jak i poprzednik są niezgodne z pewnymi definicjami i dowiedzionymi twierdzeniami w zbiorze \(\displaystyle{ \RR}\). Czyli z pewnymi faktami matematycznymi. I dlatego są fałszywe. Sama implikacja byłaby jednak prawdziwa, bo możliwe są pasujące do siebie działania, które z założenia wyprowadzą tezę. Takim krokiem byłoby podniesienie nierówności do kwadratu. Tu mamy już jednak nie korespondencyjną koncepcję prawdy, tylko tą opartą jedynie na spójności. Czyli implikacja jest prawdziwa, bo w rozumowaniu kolejne kroki pasują do siebie, choć wychodzą z fałszu rozumianego korespondencyjnie i kończą na fałszu też rozumianym korespondencyjnie. To wygląda tak, jakby prawdziwość i fałszywość była niejednoznaczna.
Raz jest to zgodność z faktami, innym razem kroków do siebie. Choć teraz sobie myślę, że może ostatecznie jest to jednak korespondencja. Bo zgodność kolejnych kroków też jest ostatecznie zgodnością z pewnymi faktami. Wolno podnieść nierówność do kwadratu, bo istnieje zasada (fakt matematyczny), z którym to działanie jest spójne. Tu pojawia się jednak problem tego typu, że implikacja \(\displaystyle{ 0 \Rightarrow 0}\) nie może być a priori uznana za prawdziwą, o ile nie wskaże się tych kroków. W jakim sensie prawdziwa jest implikacja, gdy nie znamy kroków? Bo chyba nie można powiedzieć, że coś jest prawdziwe, bo mogłoby być prawdziwe.

Jak uważacie? Pozdrawiam.