Matematyka.pl

Hej, mógłby mi ktoś pomóc w tych zadaniach i wyjaśnić o co w nich chodzi? Z góry dziękuję!

Zadanie: 1. Które z poniżej podanych relacji nie są tautologią
1) \(\displaystyle{ (p ∧ q ⇒ r) ⇒ [(p ⇒ r) ∧ (q ⇒ r)]}\)
2) \(\displaystyle{ [(p ⇒ q) ∧ (r ⇒ s)] ⇒ [(p ∧ s) ⇒ (q ∨ r)]}\)
3) \(\displaystyle{ [p ⇒ (q ⇒ r)] \Leftrightarrow [q ⇒ (p ⇒ r)]}\)
4) \(\displaystyle{ (p ⇒ q) ⇒ [p ⇒ (q ∨ r)]}\)
5) \(\displaystyle{ p ⇒ [(\neg p) ∨ q]}\)

Po pierwsze to nie są relacje, tylko schematy zdaniowe, ew. formuły rachunku zdań.

Po drugie, czego nie rozumiesz?

JK

jak rozpoznać które "relacje" nie są tautologią.

Najprościej zrobić tabelkę.

JK

wyjaśnisz jakoś co ma znajdować się w tej tabelce, jak to ogarnąć?

Wybacz, ale takich rzeczy powinieneś dowiedzieć się w szkole, która daje Ci takie zadania - forum to nie jest miejsce na dawanie wykładów, tylko na pomoc w konkretnych zadaniach. Wpisz w Google "metoda zero-jedynkowa" i poczytaj. A jak czegoś konkretnego nie zrozumiesz, to wtedy pytaj.

JK

Możesz to też udowodnić metodą opisową. Na przykład \(\displaystyle{ 4}\) podpunkt. Zauważmy, że implikacja jest fałszywa wtedy i tylko wtedy gdy prawa implikuje fałsz. Jest to jednak niemożliwe w tym przypadku jako, że aby następnik implikacji był fałszem wymagane jest by \(\displaystyle{ p=1,q=0,r=0}\) ale wtedy poprzednik implikacji jest fałszem (a musiał by być prawdą). Zatem mamy do czynienia z tautologią.

Dodano po 51 sekundach:
Podpunkt \(\displaystyle{ 5}\) idzie bardzo podobnie z tą różnica, że to nie tautologia.

Dodano po 11 minutach 55 sekundach:
W przykładzie \(\displaystyle{ 5}\) zastosowanie związku implikacji z alternatywą też jest bardzo owocne wszak \(\displaystyle{ p ⇒ [(\neg p) ∨ q] \ \Leftrightarrow \ (\neg p) ∨(\neg p) ∨ q \ \Leftrightarrow \ (\neg p) ∨q }\) zatem widać, że decydujące jest tu \(\displaystyle{ (\neg p) ∨q}\) łatwo zgadnąć jakie powinny być \(\displaystyle{ p,q}\) aby obalić przypuszczenia tautologii.