Matematyka.pl

Kiedy równania są równoważne?
Na wikipedii jest napisane: "Równania równoważne - równania, które mają ten sam zbiór rozwiązań.". Czy rzeczywiście wystarczy aby miały ten sam zbiór rozwiązań, czy muszą być jeszcze założenia na dziedzinę?

Weźmy równanie:
\(\displaystyle{ \sqrt{x-2}=0}\)

\(\displaystyle{ D: ~x \ge 2}\)

\(\displaystyle{ x_0=2}\)

oraz takie równanie:
\(\displaystyle{ (x-2)(x^2+1)=0}\)

\(\displaystyle{ D:~x\in R}\)

\(\displaystyle{ x_0=2}\)

Obydwa równania mają ten sam zbiór rozwiązań, ale inne dziedziny, czy w takim razie można powiedzieć, że:
\(\displaystyle{ (x-2)(x^2+1)=0 \Leftrightarrow \sqrt{x-2}=0}\)
?

Czy rozwiązując równania metodą równań równoważnych musimy się martwić o to, czy przy przekształceniach nie dojdzie do sytuacji, że jedna część równoważności nie istnieje a druga ma wartość logiczną zero, czy wystarczy aby w kolejnych krokach zachowywać tylko te same zbiory rozwiązań(wartości logiczne równe jeden po każdej stronie równoważności dokładnie dla tych samych argumentów i reszta nas nie obchodzi)?

Proszę o przystępne wytłumaczenie.

Zadałeś ciekawe pytanie, na które też chciałabym znać odpowiedź.

Intuicja podpowiada mi, że równość dziedzin równań też jest potrzebna, aby były one równoważne. Jednak nie ufam swojej intuicji w matematyce. Poza tym pytanie to ma charakter zastanawiania się nad tym "jak się w matematyce przyjęło coś nazywać", dlatego trzeba się wgłębić w teorię równań. Zwykle dodatkowe założenia w definicjach, twierdzeniach są bardzo ważne, by teoria matematyczna miała swój ład i porządek oraz by nie było sprzeczności i luk.

1. Równania są równoważne, gdy mają te same zbiory rozwiązań. Nie muszą mieć tych samych dziedzin.
2. Symbol \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) ma w matematyce różne znaczenia: spójnik równoważności, równoważność funkcji zdaniowych, równoważność formuł zdaniowych czy też formuł rachunku predykatów, wreszcie równoważność równań. Niekiedy (jak np. u Rasiowej) różnicuje się zapis symboliczny równoważności w zależności od kontekstu. W przypadku ciągu formuł równoważnych stosowanie symbolu \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) na oznaczenie ich równoważności może prowadzić do niejednoznaczności zapisu.
3. Przy rozwiązywaniu równań można stosować rachunek zdań. Wtedy traktuje się równania jako funkcje zdaniowe i trzeba pamiętać o ich dziedzinach, tak by odpowiednio stosować prawa rachunku zdań.

W szczególności: równania \(\displaystyle{ (x-2)(x^2+1)=0}\) oraz \(\displaystyle{ \sqrt{x-2}=0}\) są równoważne jako równania (z dziedzinami zawartymi w \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\)), nie są jednak równoważne jako funkcje zdaniowe, bo mają różne dziedziny.

Równoważność jest prawdziwa gdy zachodzi implikacja w obie strony:
\(\displaystyle{ p \Rightarrow q}\) oraz \(\displaystyle{ q \Rightarrow p}\)
Na przykład:
\(\displaystyle{ a=b \Rightarrow a^2 = b^2}\), ale z \(\displaystyle{ a^2 = b^2}\) nie wynika \(\displaystyle{ a=b}\). Dlatego też nie jest to równoważne.

Dzięki za odpowiedzi. Przypadek kiedy traktujemy równania jak funkcje zdaniowe wydaje mi się rozsądny i logiczny. Wyznaczamy dziedzinę i wszystkie prawa rachunku zdań "żyją" w jej obrębie. Natomiast sytuacja, gdy sprowadzamy równoważność równań do posiadania tego samego zbioru rozwiązań nie do końca jest dla mnie jasna. Mam wrażenie, że wówczas nie do końca działają prawa logiki.

Załóżmy, że równania są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy mają te same zbiory rozwiązań
Mamy więc ciąg równoważności(oznaczmy go jako \(\displaystyle{ \Delta}\)):

\(\displaystyle{ (x-1)(x-5)=0 \Leftrightarrow \left( x-1=0 \vee x-5=0 \right) \Leftrightarrow(*)}\)

\(\displaystyle{ \Leftrightarrow \left[ \left( \frac{x-1}{x-5}=0 \wedge x \le 2\right) \vee \left( \frac{x-5}{x-1}=0 \wedge x>2 \right) \right]}\)

W miejscu (*) korzystamy z tego, że(w myśl równoważności na postawie tego samego zbioru rozwiązań):
\(\displaystyle{ \left( \frac{x-1}{x-5}=0 \wedge x \le 2\right) \Leftrightarrow x-1=0}\)
oraz
\(\displaystyle{ \left( \frac{x-5}{x-1}=0 \wedge x>2\right) \Leftrightarrow x-5=0}\)

Niby wszystko pięknie ale ostatecznie w ostatnim kroku \(\displaystyle{ \Delta}\) dostaliśmy wyrażenie które nie ma rozwiązań, bo nigdy nie będzie miało wartości logicznej równej jeden.
Jeśli wstawimy \(\displaystyle{ x=1}\) lub \(\displaystyle{ x=5}\) do:

\(\displaystyle{ \left[ \left( \frac{x-1}{x-5}=0 \wedge x \le 2\right) \vee \left( \frac{x-5}{x-1}=0 \wedge x>2 \right) \right]}\),

wówczas wyrażenie to nie istnieje(za każdym razem wyzerujemy któryś mianownik), zatem mamy sprzeczność.

Jaki jest więc sens traktowania równań za równoważne tylko na podstawie posiadania tego samego zbioru rozwiązań, skoro kłóci to się z podstawowymi prawami logiki i prowadzi do takich absurdów? Chyba, że to ja czegoś nie dostrzegam, albo sytuacje w której alternatywa \(\displaystyle{ p(x) \vee q(x)}\), przyjmuje dla \(\displaystyle{ p(x_0)}\) wartość logiczną \(\displaystyle{ 1}\) a dla \(\displaystyle{ q(x_0)}\) nie istnieje, traktujemy analogicznie jak gdyby dla \(\displaystyle{ q(x_0)}\) przyjmowała wartość logiczną \(\displaystyle{ 0}\) i tym samym cała alternatywa przyjmuje wartość logiczną jeden i wtedy zarówno \(\displaystyle{ 5}\) jak i \(\displaystyle{ 1}\) są rozwiązaniami problemu w \(\displaystyle{ \Delta}\)?

Stąd wniosek, że do par równań równoważnych nie można bezkrytycznie stosować spójników logicznych.
Pojęcie równań równoważnych jest zakorzenione w tradycyjnej matematyce (patrz wikipedia).

Co ma Pan na myśli pisząc, że "Stąd wniosek, że do par równań równoważnych nie można bezkrytycznie stosować spójników logicznych."?
Czyż nie powinno być tak, że w matematyce reguły są jasno określone i albo coś działa albo nie działa?
Udało mi się znaleźć: ... estaw2.pdf
W rozdziale 8 jest napisane, że dowolne równanie oraz nierówność są formami zdaniowymi w pewnej dziedzinie oraz że są one równoważne gdy mają te same dziedziny i te same zbiory rozwiązań.

Jak to więc jest i dlaczego przyjęło się uważać, że równania są równoważne wtw. gdy mają te same zbiory rozwiązań? Jakich więc przekształceń należy unikać, aby rozumując w ten sposób nie popełniać błędów w rozwiązywaniu zadań i nie doprowadzać do sprzeczności jak w przykładzie z mojego poprzedniego postu?

kulski-12 pisze: Czyż nie powinno być tak, że w matematyce reguły są jasno określone i albo coś działa albo nie działa?

Zasadniczo tak powinno być. W przypadku rozwiązywania równań: pojęcie równań równoważnych stosujemy do samych równań (bez spójników logicznych). W równaniu chodzi nam o wyznaczenie jego zbioru rozwiązań. By to zrobić, możemy zastąpić równanie innym (prostszym) równaniem mu równoważnym.

Dlaczego równoważność równań definiuje się jako równość zbioru rozwiązań? Myślę, że z powodu tradycji.

Do rozwiązywania równań możemy też stosować rachunek zdań (w tym spójniki zdaniowe). Wtedy traktujemy równania jak funkcje zdaniowe. I wtedy musimy pamiętać o równości dziedzin.

W praktyce, gdy w kolejnym kroku rozwiązania równania (traktowanego jako funkcja zdaniowa) chcemy zastąpić je funkcją zdaniową ze zmienioną dziedziną, możemy zmienić te funkcje zdaniowe w ten sposób, że ograniczamy ich dziedziny do wspólnej części dziedzin obu funkcji zdaniowych, a przypadki pozostałych argumentów rozpatrujemy osobno.

W matematyce często jest tak, że badamy pewne własności obiektów i obiekty o tych samych własnościach uznajemy za równe (równoważne), nawet jeżeli innymi własnościami różnią się diametralnie. Poczytaj sobie o relacjach równoważności.

Na przykład gdy badamy ilości elementów zbioru, to jest nam wszystko jedno czy mamy pięć jabłek czy pięć krokodyli.

Z punktu widzenia teorii mocy takie zbiory są równoważne (ale przyjęto dla nich określenie "równoliczne"). Badając moce mamy jednak pełna świadomość, że jabłko zjemy my, natomiast krokodyl zje nas.

Badacze równań, którzy interesują się ich zbiorami rozwiązań i z ich punktu widzenia istotną cechą jest równość zbioru rozwiązań. Dlatego dwa równania mające taki sam zbiór rozwiązań nazywają równoważnymi i maja pełną świadomość tego kto kogo zjada. Być może byłoby lepiej, gdyby określali jest np terminem "równorozwiązywalne" lub czymś podobnym, ale jest to wyłącznie kwestia terminologii.

Jeżeli więc NAZWA "równania równoważne" sprawia Ci kłopot, nazwij je sobie jakkolwiek inaczej. Ważne, abyś miał świadomość, że słowo "równoważne" w tym kontekście oznacza nic innego tylko równość zbiorów rozwiązań. W ten sposób unikniesz sprzeczności (które de facto nie są sprzecznościami, tylko efektem nieporozumienia językowego).