Matematyka.pl

*Kasia pisze:Romb o kącie ostrym \(\displaystyle{ \alpha}\) i boku \(\displaystyle{ a}\) podzielono odcinkami poprowadzonymi z wierzchołka tego kąta na trzy części o równych polach. Wyznacz długości tych odcinków.

Rozwiązanie:

Oznaczmy wierzchołki rombu literami kolejno A, B, C i D. Odcinki dzielące go na trzy cześci o równych polach oznaczmy CK i CL (K należy do boku AB, L należy do boku AD).

\(\displaystyle{ h}\) - d. wysokości rombu;
\(\displaystyle{ P}\) - pole rombu;
\(\displaystyle{ x}\) - dl. szukanego odcinka;

Wtedy:
\(\displaystyle{ P=a\cdot h=a^2\cdot sin\alpha}\)
\(\displaystyle{ P_{\Delta KBC}=\frac{1}{3}\cdot P=\frac{1}{3}\cdot a\cdot h=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}a\cdot h=\frac{1}{2}\cdot |KD|\cdot h}\)
Zatem \(\displaystyle{ |KD|=\frac{2}{3}a}\)
Analogicznie: \(\displaystyle{ |DL|=\frac{2}{3}a}\)

Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta CDA (analogicznie dla CBK):
\(\displaystyle{ x=\sqrt{(\frac{2}{3}a)^2+a^2-2\cdot \frac{2}{3}a^2\cdot cos(180^o-\alpha)}=\sqrt{\frac{13}{9}a^2+\frac{4}{3}a^2\cdot cos\alpha}=\frac{a}{3}\cdot \sqrt{13+4\cdot cos\alpha}}\)

Odpowiedz: Długości tych odcinków wynoszą \(\displaystyle{ \frac{a}{3}\cdot \sqrt{13+4\cdot cos\alpha}\ [j]}\).