Matematyka.pl

Przy użyciu liczb zespolonych
a) wyprowadzić wzór \(\displaystyle{ \sin (2x)=2\sin x \cos x}\).
b) wyrazić \(\displaystyle{ \cos (3x)}\) za pomocą \(\displaystyle{ \cos x}\).

Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc?

a) Policz \(\displaystyle{ \left( \cos x+i\sin x\right)^2 }\) na dwa sposoby: ze wzoru skróconego mnożenia i ze wzoru de Moivre'a.
b) podobnie

JK

A no faktycznie, to wychodzi. \(\displaystyle{ (\cos x + i \sin x)^2=\cos^2x+2\sin x\cos x i-\sin^2x=\cos 2x+i\sin 2x}\). Porównujemy części urojone i mamy \(\displaystyle{ \sin 2x=2\sin x\cos x}\).

A z tym drugim to tak \(\displaystyle{ (\cos x+i\sin x)^3=\cos^3 x+3\cos^2 x \sin x i-3\cos x\sin ^2 x-i\sin ^3 x=\cos 3x+i \sin 3x}\). Tym razem porównujemy rzeczywiste i mamy \(\displaystyle{ \cos 3x=\cos^3x-3\cos x \sin ^2 x=\cos^3x-3\cos x(1-\cos^2x)=4\cos^3x-3\cos x}\).

Dobrze?

Tak.

JK