Matematyka.pl

Rozwiąż nierówność w dziedzinie zespolonej wykorzystując wzór de Moivre’a:
\(\displaystyle{ Re(z^3) < 0}\)

Ogarnia ktoś jak to zrobić ? Z góry dziękuję za odpowiedź

1.
Przedstawiamy liczbę \(\displaystyle{ z }\) w postaci trygonometrycznej.

2.
Podnosimy do trzeciej potęgi, stosując wzór de Moivre' a.

3.
Wyodrębniamy część rzeczywistą liczby z podpunktu 2.

4.
Rozwiązujemy nierówność trygonometryczną.

Niech \(\displaystyle{ z=x+iy}\).
"\(\displaystyle{ z}\)" w postaci trygonometrycznej: \(\displaystyle{ z=|z|\left( \cos \frac{x}{|z|}+i\sin \frac{y}{|z|}\right) }\)
Ze wzoru Moivre'a: \(\displaystyle{ z^3=|z| ^{3}\left( \cos \frac{3x}{|z|}+i\sin \frac{3y}{|z|}\right) }\)
\(\displaystyle{ \Re(z ^{3}) = |z|^3\cos \left( \frac{3x}{|z|}\right) }\)
Należy rozwiązać: \(\displaystyle{ |z|^3\cos\left( \frac{3x}{|z|}\right) <0}\), gdzie \(\displaystyle{ |z|= \sqrt{x ^{2}+y ^{2} } > 0}\). Mając daną liczbę, wyjdzie ci proste równanie trygonometryczne, w ogólności:
\(\displaystyle{ |z|^3\cos\left( \frac{3x}{|z|}\right)<0 \Leftrightarrow x \in \left( \frac{ \pi }{ \frac{1}{|z|} \cdot 6}+ \frac{4 \pi n }{6\cdot \frac{1}{|z|} }, \frac{3 \pi }{6\cdot \frac{1}{|z|} } + \frac{4 \pi n}{6\cdot \frac{1}{|z|} }\right)}\), dla \(\displaystyle{ n=0,1,2,3,..}\)

Nie bardzo rozumiem postaci tego rozwiązania, ze względu na zawartym w nim \(\displaystyle{ |z|. }\)

Jaka jest postać części rzeczywistej liczby \(\displaystyle{ z^3 }\) w postaci trygonometrycznej (po zastosowaniu wzoru de'Moivre'a)?

Bozydar12 pisze: 2 kwie 2020, o 22:33
\(\displaystyle{ \Re(z ^{3}) = |z|^3\cos \left( \frac{3x}{|z|}\right) }\)

Ale możliwe, że sam rowniez się pogubiłem, bo treść zadania jest nie do końca jasna.

Zadanie jest jednoznacznie sformułowane. A dziwne rozwiązanie jest konsekwencją dziwnego początku:

Bozydar12 pisze: 2 kwie 2020, o 22:33 Niech \(\displaystyle{ z=x+iy}\).
"\(\displaystyle{ z}\)" w postaci trygonometrycznej: \(\displaystyle{ z=|z|\left( \cos \frac{x}{|z|}+i\sin \frac{y}{|z|}\right) }\)

Tu błędnie przyjąłeś, iż: \(\displaystyle{ \alpha =\frac{x}{|z|}= \frac{y}{|z|}}\)

Fakt 1: jeżeli \(\displaystyle{ Arg(z^3)=\alpha}\) to na mocy wzoru de Moivre'a \(\displaystyle{ Arg(z)\in \left\{\frac{\alpha}{3}, \frac{\alpha+2\pi}{3}, \frac{\alpha+4\pi}{3}\right\}}\)
Fakt 2: \(\displaystyle{ \Re(z^3)<0 \Leftrightarrow ???<Arg(z^3)<???}\)

To wystarcza do rozwiązania zadania.